雷潇潇

【摘要】近年来，函数图像问题一直是高考经久不衰的话题，而对于给定的复合函数的表达式，要判断出它的图像这类问题也逐渐成为高考的一个命题热点.本文简单谈谈函数图像分析类问题的解题策略.

【关键词】函数图像；函数模型；奇偶性；特殊点

这类题目的考查一般是选择题，给出一个复合函数（非基本初等函数）的表达式及4个待选图像，要求能从待选图像的上下、左右分布范围、变化趋势、奇偶性、特殊点等方面来分析它们的不同，进而选出正确答案.基本方法有：

一、函数模型的方法

观察所给定的函数表达式是否可以由某一基本初等函数经过平移变换、伸缩变换和对称变换而得到.

二、定性分析的方法

在对函数表达式进行定性分析之前，首先求出定义域，再一一确定该函数的奇偶性、单调性、渐近线、对称中心等.

三、定量分析的方法

通过定量的计算来分析该函数的值域、特殊点、极限点以及无穷远处的取值或范围.

解决一道题并不难，关键是要去挖掘更深一层的意义，总结方法，这样才能有更大的收获.下面以高考题为例，进一步阐明.

例1 （2012年新课标全国卷理10）已知函数f（x）=1ln（x+1）-x，则y=f（x）的图像大致为（ ）.

A

B

C

D

分析 由y=f（x）的定义域为{x|x>-1且x≠0}，排除D；因为f′（x）=-1x+1-1[ln（x+1）-x]2=x（x+1）[ln（x+1）-x]2，所以当x∈（-1，0）时，f′（x）<0，y=f（x）在（-1，0）上是减函数，当x∈（0，+∞）时，f′（x）>0，y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，故选择B.

评注 该函数并不能直接由某一个基本初等函数经过变换而来，因此，我们直接对其进行定性和定量的分析.在求得定义域之后，也可通过定量分析来比较答案，当x从-1的右方无限趋近于-1时，ln（x+1）无限趋于-∞，x无限趋于-1，所以ln（x+1）-x无限趋于-∞，从而当x从-1的右方无限趋近于-1时，f（x）从负的一边无限趋于0，（f（x）<0，且f（x）趋于0）.同样可知f（x）在0的两侧均趋于-∞.

例2 （2015年浙江卷文5）函数f（x）=x-1xcosx（-π≤x≤π且x≠0）的图像可能为（ ）.

A

B

C

D

分析 由定义域关于原点对称，并且f（-x）=-x+1xcosx=-x-1xcosx=-f（x），故函数是奇函数，所以可排除A、B选项；取x=π，则f（π）=π-1πcosπ=-π-1π<0，故选D.

评注 该函数并不能直接由某一个基本初等函数经过变换而来，因此，我们直接对其进行定性和定量的分析.在定性分析中，我们也可以得这样的结果，当x趋于0时，x-1x趋于-∞，cos0=1，故此时f（x）<0且趋于-∞，也可选出答案.所以，在做题中观察答案的异同更能找到突破口，再选择更简便的方法.

例3 （2011年山东卷理9）函数y=x2-2sinx的图像大致是（ ）.

A

B

C

D

分析 函数是定义在R上的奇函数，故排除A选项；令f（x）=x2-2sinx，则f′（x）=12-2cosx，所以该函数的单调性不断变化且呈周期性变化，故排除B；当x>2π时，x2>π，2sinx≤2，即当x>2π时，恒有f（x）>0，故选择C.

评注 该函数并不能直接由某一个基本初等函数经过变换而来，因此，我们直接对其进行定性和定量的分析.对于含有三角函数的式子，对其求导并发现它的单调区间是呈周期性变化的，并注意到正余弦函数的有界性也是解题的关键.

例4 （2013年四川卷理7）函数y=x33x-1的图像大致是（ ）.

A

B

C

D

分析 由函数解析式可得，该函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），故排除A；当x<0时，x3<0，3x-1<0，故此时y>0，故排除B；当x趋于+∞时，3x-1远远大于x3的值且都为正，故x33x-1趋于0且大于0，排除D，故选C.

评注 该函数并不能直接由某一个基本初等函数经过变换而来，因此，我们直接对其进行定性和定量的分析.在分析x<0的部分時，也可定量选取当x=-1时，相应的函数值y=（-1）33-1-1=32>0来排除B选项.

例5 （2016年新课标全国卷理7）函数y=2x2-e|x|在[-2，2]的图像大致为（ ）.

A

B

C

D

分析 函数y=2x2-e|x|在[-2，2]上是偶函数，令f（x）=2x2-e|x|，当x∈[0，2]时，f′（x）=4x-ex，f′14·f′（1）=（1-e14）（4-e）<0，因此，在14，1内存在一点x0使f（x）的导数值为零，且x0是极小值点，由此排除A、C选项；取x=2，f（2）=8-e2，0<8-e2<1，所以排除B选项，故选D.

评注 该函数并不能直接由某一个基本初等函数经过变换而来，因此，我们直接对其进行定性和定量的分析.由四个选项来看，图像均关于y轴对称，不同之处在于相同区间内的单调性和x=±2时函数值与1的大小关系，所以从这两方面去分析便可选出正确答案.