俞丽萍

【摘要】一直以来，椭圆都与圆有着不解之缘.在解答相关问题时，了解二者的联系则能使相关问题得到简化，从而为问题的解答提供便利.基于这种认识，本文从蝴蝶定理、圆周角和圆的构造等多个角度对椭圆与圆的不解之缘展开了分析，以期为关注这一话题的人们提供参考.

【关键词】椭圆；圆；不解之缘

在数学学习的过程中，常常可以发现椭圆与圆有着密切的联系.面对一个圆锥面，利用平面进行截取则能得到圆、椭圆或双曲线等图形.而在这些图形中，只有圆与椭圆为封闭曲线.在研究圆柱的投影问题时，也可以发现其截面在底面的投影为圆.而数学的美，只有通过深入挖掘才能更好地体会.因此，还应加强对椭圆与圆的不解之缘的分析，以便完成有关问题的深入挖掘.

一、從蝴蝶定理角度分析椭圆与圆的不解之缘

例1 已知圆O，存在弦PQ，从其中点M引任意两弦AB与CD，分别连接BC和AD，则两条连线与PQ相交，焦点分别为E和F，证明ME=MF.

解题思路 想要证明这一例题，可以采用上百种的方法.而利用圆的蝴蝶定理证明，则能够更好地了解椭圆与圆的关系.

证明 将PQ所在直线设定为x轴，并将M设为原点，则能完成平面直角坐标系的建立，并得到圆的方程x2+（y+a）2=R2.由该方程可知，直线AB与CD的方程分别为y=k1x和y=k2x.而圆与两条直线相交得到的方程为二次曲线u[x2+（y+a）2-R2]+λ[（y1-k1x）（y-k2x）]=0.假设y为0，则E和F的横坐标应满足（u+λk1k2）x2+u（a2-R2）=0.已知x的系数为0，所以x1+x2=0，因此，ME=MF.采取该种证明方法，可以将圆的方程转化为椭圆方程，并得到圆锥曲线的蝴蝶定理，由此可见圆与椭圆的密切联系.

二、从圆周角角度分析椭圆与圆的不解之缘

例2 已知椭圆x29+y24=1，其上有点P，椭圆两个焦点为F1和F2，∠F1PF2为钝角，求点P的横坐标范围.

解题思路 从几何学的角度来看，直线与曲线是对立且统一的关系.而二者的相互转化，需要借助圆周角实现.圆的直径上的圆周角，则是直角，直径对应的圆外角则为锐角，对应的圆内角为钝角.利用圆弧，则可以进行直线交角的展现，继而了解椭圆与圆的内在和谐关系.

解 由题目可知，椭圆弧在圆内与钝角对应，圆外与锐角或零角对应，交点与直角对应.联立椭圆方程与以F1F2为直径的圆，则能得到P点横坐标范围为-355，355.

三、从轨迹探究角度分析椭圆与圆的不解之缘

例3 已知圆O及其直径AB，并且圆上其他任意点与A，B两点连线斜率之积为-1.已知A和B坐标分别为（-a，0）和（a，0），a>0，直线AP与BP相交，交点为P，斜率之积为常数λ，λ≠0，求P的轨迹.

解题思路 根据椭圆定义可知，椭圆是平面上到两定点距离之和为定值（比两定点距离大）的点的轨迹.由这一定义，可以了解圆锥曲线的基本量与轨迹的联系，并得知椭圆与圆的联系.

解 假设点P（x，y）为轨迹上任意点，则kAPkBP=xx+a·yx-a=λ.通过整理，可得x2a2-y2λa2=1，且x≠±a；在λ=-1时，轨迹为圆.当λ<0且λ≠-1时，P点轨迹为焦点在x轴上的椭圆（-1<λ<0）；当λ<-1时，P点轨迹为焦点在y轴上椭圆；当λ>0时，P点轨迹为双曲线.

四、从圆的构造角度分析椭圆与圆的不解之缘

从圆的构造角度，也能对椭圆与圆之间的密切关系进行分析.根据椭圆的定义，就可以利用一个圆完成椭圆的构造.具体来讲，就是在纸上完成一个圆F的绘制，然后在其中取一不靠近圆心的定点F′.将纸片折叠，确保圆周通过F′，就可以获得一条折痕.多次折叠，则能够获得多条折痕.对这些折痕的轮廓进行观察，则能够得到一个椭圆.之所以会出现这种情况，主要是由于折痕与线段交点M在椭圆上，并且FM+F′M=FM+MA=FA（圆的半径），由此可得M点轨迹为椭圆.

例4 已知椭圆x2+y24=1，M为其上动点，N为点M在x轴上的射影，并且点O满足OQ=OM+ON，求OQ长.

解题思路 在解答椭圆问题时，可以通过伸缩变换将其转化为圆，然后通过构造圆解答相关问题，从而了解椭圆与圆的密切联系.

解 假设点Q在圆x2+y2=4上运动，该圆为椭圆的生成圆，而点Q为点M水平向椭圆外移动了ON长.由此可知，点M横坐标将被缩放为原来的两倍，所以通过将椭圆还原为圆，可知OQ长为2.

五、从投影角度分析椭圆与圆的不解之缘

例5 已知椭圆x2a+y2b=1，a>b>0，证明椭圆面积为abπ.

解题思路 椭圆的投影为圆，而圆柱形物体斜截面为椭圆，所以在圆柱底面投影为底面圆.

证明 假设椭圆与圆柱底面所成角为θ，椭圆长半轴OA=a，短半轴OB=b，可得cosθ=ba，椭圆面积S=圆面积cosθ=πb2cosθ=abπ.

通过分析可以发现，在解析几何中，椭圆与圆有着不解之缘.而作为高考必考的主干知识，椭圆与圆的命题为典型的数形结合问题.在解答该类问题时，通过对椭圆背后的圆的素材进行挖掘，则能够简化命题的解答过程或为解题提供新的思路.因此，还应该加强椭圆与圆的联系的研究，以便熟练掌握该种联系，进而更好地解答有关问题.