艾光明

【摘要】最近几年以高等数学知识为背景的函数压轴题成为全国高考卷中的常见类型，这类题目灵活多变，很好地把高等数学和高中数学知识进行衔接，教师不只要会利用初等数学知识解决这类问题，更要知会它的背景知识，下面仅以2010年新课标全国卷（Ⅱ）第21题作以说明.

【关键词】不等式；离参法；讨参法

原题：f（x）=ex-1-x-ax2，x≥0，f（x）≥0恒成立，求实数的取值范围.部分学生会采用离参法，首先讨论当x=0时，a∈R，且当x>0时，a≤ex-1-xx2（x>0）恒成立，此时引入函数思想处理不等式恒成立问题，设辅助函数g（x）=ex-1-xx2（x>0），对g（x）进行单调分析，求导得g′（x）=（x-2）ex+x+2x3（x>0），设h（x）=（x-2）ex+x+2（x>0），h′（x）=（x-1）ex+1（x>0），而h″（x）=xex>0恒成立，所以h′（x）在（0，+∞）单调递增，h′（x）>h′（0）=0，进而h（x）在（0，+∞）单调递增，所以h（x）>h（0）=0，g′（x）=h（x）x3>0，综上，g（x）在（0，+∞）也是单调递增，又因为当x>0时，a≤ex-1-xx2（x>0）恒成立，所以a≤g（x）min或a≤g（x）下界，借助“罗比达法则”可求得 limx→0+g（x）= limx→0+ex-1-xx2= limx→0+ex-12x= limx→0+ex2=12，又因为g（x）在（0，+∞）也是单调递增，所以g（x）∈12，+∞，综上，a∈-∞，12.由以上分析可以看到离参后，新的辅助函数单调性明确，但求新函数值域时，用到了“罗比达法则”，这是高等数学的知识，不是高中阶段需要掌握的内容，但依稀可得问题背景由来.那么在没有学习“罗比达法则”的前提下如何利用初等数学中讨参法和离参法处理此题呢，下面看下此题的另解.

法1 讨参法

∵f′（x）=ex-1-2ax（x≥0），∴h（x）=f′（x）=ex-1-2ax，h′（x）=f″（x）=ex-2a，辨析h′（x）符号，确定讨论界点，x≥0ex∈[1，+∞），故a需要与12比较.

当a≤12时，∵h′（x）=ex-2a≥ex-1≥0（x≥0），∴h（x）=f′（x）在[0，+∞）单调递增，∴f′（x）≥f′（0）=0，∴f（x）在[0，+∞）单调递增，则f（x）≥f（0）=0，符合题意.

当a>12时，令f′（x）=0，x=ln2a，当f′（x）>0时，x∈（ln2a，+∞），当f′（x）<0时，x∈（0，ln2a），∴f′（x）在[0，ln2a）单调递减，（ln2a，+∞）单调递增.

取x∈（0，ln2a）

Symbol^C@ f′（x）

综上，當且仅当a≤12时，符合题意.

此讨参法也是此道高考题给出的标准答案，也是绝大多数尖子生和教师能够接受的做法，但绝大多数学生发现f′（x）中含有ex和参数a，心中畏惧，会放弃此题.下面笔者既不利用“罗比达法则”又不用上述讨参法给出另解.

法2 离参法

ex-1-x-ax2≥0恒成立1+x+ax2ex≤1恒成立，利用函数思想引进辅助函数g（x）=1+x+ax2ex，此时g（0）=1，求得g（x）的导函数g′（x）=-ax2+（2a-1）xex=x（-ax+2a-1）ex（x≥0），令h（x）=-ax+2a-1（x≥0）.a=0时，h（x）=-1<0，∴h（x）在[0，+∞）单调递减，g（x）在[0，+∞）单调递减，∴g（x）≤g（0）=1，满足条件.

a<0时，令h（x）=0，解得x=2a-1a>0，此时h（x）>0时，x∈2a-1a，+∞，当h（x）<0时，x∈0，2a-1a，所以g（x）在2a-1a，+∞单调递增，g（x）在0，2a-1a单调递减，因为当x→+∞时，g（x）=1+x+ax2ex<0恒成立，所以x轴是g（x）图像的一条渐近线，所以g（x）≤g（0）=1，满足题意.

当a∈0，12时，h（x）≤0在x∈[0，+∞）上恒成立，所以g（x）在[0，+∞）单调递减，则g（x）≤g（0）=1，满足题意.

当a∈12，+∞时，h（x）>0时，x∈0，2a-1a，h（x）<0时，x∈2a-1a，+∞，所以当x∈0，2a-1a 时，g（x）在0，2a-1a单调递增，则g（x）>g（0）=1在x∈ 0，2a-1a恒成立，不满足题意.

综上，若原不等式恒成立，则a≤12.

此法对原不等式等价变形，使g（x）导数g′（x）的正负号与ex无关，只需讨论学生最熟悉的h（x）=-ax+2a-1 （x≥0）的正负即可，化难为易，有更多的学生能够接受.

伴随着导数、统计与概率等原大学知识内容进入高考，近几年高考在问题载体上有所创新，如，导数进入新教材后函数研究范围扩大，使函数覆盖的知识点越来越多，因而，成为高考创新题中的热点，大学知识与高中知识联系也越来越多，如何巧妙地利用函数思想、等价转化思想在解决此类不等式问题上显得尤为重要.