龚建国

【摘要】初中学生初步接触几何推理，由于知识和能力的局限性，感到学习困难.本文以“平行线判定和性质”内容的教学实践为例，反思在几何教学入门中，教学内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由易到难，由简到繁，进行循环递进式的教学.

【关键词】初中几何教学；平行线；角；转化

新课程标准明确指出：七年级数学要开始培养学生的识图能力、画图能力以及符号的转换能力和推理能力，为今后几何的学习打好基础.但说到几何题，学生普遍的感觉就是“几何，几何，想破脑壳”.不仅学生觉得难学，不少教师也认为几何不好教，教与学都存在一定的困难.

一、困难成因

首先，为什么学生会认为几何题难？究其原因，我认为主要有以下几点.一是理解能力有限.学生在小学阶段接触的几何知识比较有限，并且平面几何一开始介绍的概念比较抽象，所以有的学生对定义和概念的理解模糊不清，只能死记硬背.在几何学习中，如果对基本定义和概念不理解，将会影响学生对题意的理解.二是识图能力较弱.对几何图形的观察、识别是理解题意、分析问题、解决几何问题的基础.对图形的认知不足，将会影响到问题的进一步分析.三是转换能力欠缺.大多数学生的疑难点都在这里.几何语言是几何知识的载体，如果能够将文字语言、几何图形、符号表示很好地联系在一起，将会为问题的分析提供帮助.但几何语言对于初步接触几何的学生来说却是无异于一门新的语言.四是推理能力不足.学习几何主要就是学习推理论证，提高逻辑推理能力.简单的逻辑推理是学习几何的基础.在几何问题的解决过程中，如何进一步将已知条件转化、推演，是探寻证明结果的关键.

其次，教学中容易走入这样的误区：采用大量毫无新意的重复性练习，毫无章法的题海战术去巩固几何知识，提升逻辑推理能力.这种教学方式不仅浪费时间，打击学生的学习兴趣，也让教师感到疲惫和沉重，最终的结果只能事倍功半.作为教师，我也在思考，如何科学、合理地设计教学内容，精心地组织课堂教学，采取有效的措施和方法，能够快速地提高学生的数学素养，让学困生听得懂，中等生做得出，学优生解得妙，使课堂教学实现真正的高效呢？

二、实践中反思

在进行“相交线与平行线”这一章节的教学中，我的教学进度异常缓慢，我的教与学生的学都遇到了困难，学生第一次遇到几何推理，对于要用数学符号语言表达出逻辑推理的过程，感觉无从下手，对于平行线和角之间的相互转化，感觉很混乱.我一直在思考如何帮助学生突破这个瓶颈.

案例1 在“平行线的性质”这节课的练习中，有这样一个问题：

已知，△ABC的三个顶点分别在直线a，b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，求∠3的度数.

这是一个考查平行线性质应用的题目，为了考查学生的掌握程度，我采取了先练后讲的教学形式.学生经过自主练习，小组合作交流，展示出以下三种解法：

解法一 ∵a∥b，

∴∠EAC+∠1=180°.

∵∠1=120°，

∴∠EAC=180°-∠1=180°-120°=60°.

∵∠2+∠3+∠EAC=180°，∠2=80°，

∴∠3=180°-∠2-∠EAC=180°-80°-60°=40°.

解法二 ∵a∥b，∠1=120°，

∴∠DAC=∠1=120°.

∵∠2=80°，

∴∠3=∠DAC-∠2=120°-80°=40°.

解法三 ∵a∥b，∠2=80°，

∴∠ABC=∠2=80°.

∵∠ACB+∠1=180°，∠1=120°，

∴∠ACB=180°-∠1=180°-120°=60°.

∵∠3+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠3=180°-∠ABC-∠ACB=180°-80°-60°=40°.

學生解法的多样性是令人惊喜的，说明他们对平行线的性质已经有了一定的认识，并且已经能够应用于实际解决相关问题.经过了解，大概有80%的学生使用的是第一种解法，18%的学生用的是第二种解法，只有2%的学生使用第三种解法.

我和学生们对三种解法进行了分析和讨论，学生经过讨论后认为，第一和第二种解法优于第三种解法，因为步骤少、解法直接.其中，使用解法一的学生是将解题目标角∠3放在平角∠DAE中去思考，推理得出：∠DAE和∠2的度数已知，只有∠EAC的度数是未知的，问题就转化为求∠EAC的度数.再进一步分析：∠EAC与已知的∠1是已知的平行线a和b被AC所截形成的一对同旁内角，至此，问题迎刃而解.使用第二种解法的学生，则是想到将∠3和∠2组成的∠DAC和已知角∠1联系在一起，这是已知的平行线a和b被AC所截形成的一对内错角，问题也能够很快解决.

应该说能够使用前两种解法的学生，对于图形识别、平行线和角的相互转化推理是比较熟练的，能够将已知条件和所求统筹地联系在一起进行分析，用比较直接的方法解决问题.而使用第三种解法的学生也会使用平行线的性质去推出角的关系，但思维还局限于小学所熟知的三角形中，习惯用三角形内角和定理去解决求角度的问题，对平行线性质的认知仅停留在得出等角的层面上，使得解法不够直接.三种解法的不同在于运用了平行线的不同的特殊角.

这一道题目的讨论解决了这节课困扰部分学生的问题：平行线的性质可以用来做什么？揭示了平行线性质在解决几何问题中的作用：由两直线的平行关系可以得出同位角、内错角的相等关系，同旁内角的互补关系，这些特殊角的关系为不同位置的等角、互补的角的转换，求角的度数提供了条件.而这类几何问题的解决最终还是要归结到平行线和三种特殊角、角和角之间的转化问题上.

三、反思后再实践

在经过“平行线的性质”这节课的教学之后，学生对于几何问题的理解、识图、转换、推理有了进一步的认识.有了前面的经验，我认为应该调整教学思路，在教学中要抓好“三线八角”这一基础作为主线，由平行线的三种特殊角的进一步转化寻求解题突破点.

案例2 在“平行线的判定和性质综合”这一节的教学中，我先给出下面的问题：

已知AB∥CD，∠A=∠C，求证AD∥BC.

学生能够从上节课的分析方法中找到思路，由已知的平行线找特殊角入手，独立解决问题，最后得出了两种解法：

解法一 ∵AB∥CD，

∴∠A+∠D=180°.

∵∠A=∠C，

∴∠C+∠D=180°，

∴AD∥BC.

解法二 ∵AB∥CD，

∴∠B+∠C=180°.

∵∠A=∠C，

∴∠A+∠B=180°，

∴AD∥BC.

经过对比分析和讨论，学生认为这两种解法从本质上来说是一样的，同样借助了平行线的同旁内角进行角的转换解决问题，所不同的是采用了不同的截线去截已知的平行线，从而得出了不同的同旁内角.学生还进一步总结出由一组平行线去证明另一组直线平行的基本解题思路：先由已知的平行線出发，通过寻找截线，推出三种特殊角的等量关系，再结合已知条件进行角的转换，找到证明另一组平行线需要的三种特殊角，而之前学习的对顶角、邻补角也可以为证明提供等角和互补的角的条件.

有了这一基本思路和上面的基本图形做铺垫，当我再给出了下面的变式图形，要求学生尽可能多地去寻找解决方法的时候，学生已经不再像之前那样感觉无从入手.经过小组合作交流，学生共得到了四种解法：

已知AB∥CD，∠A=∠C，求证AD∥BC.

解法一 ∵AB∥CD，

∴∠A+∠ADC=180°.

∵∠A=∠C，∴∠C+∠ADC=180°，

∴AD∥BC.

解法二 ∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠C=180°.

∵∠A=∠C，∴∠A+∠ABC=180°，

∴AD∥BC.

解法三 ∵AB∥CD，

∴∠A=∠ADE.

∵∠A=∠C，∴∠ADE=∠C，

∴AD∥BC.

解法四 ∵AB∥CD，

∴∠FBC=∠C.

∵∠A=∠C，∴∠FBC=∠A，

∴AD∥BC.

可以看出，解法一和解法二与上一道题的两种解法完全相同，都是利用已知平行线截得的同旁内角解决问题，而解法三是利用内错角∠A和∠ADE，解法四则是利用同位角∠A和∠FBC去进行进一步的转换推理.由此可见，学生对平行线判定和性质的综合应用能力确实有了提升.打铁趁热，我继续进行巩固练习：

已知∠EFC=∠DAE，∠B=∠D，直线AB与直线CD平行吗？请说明理由.

这道习题的解决变成了学生们的展示平台，大部分学生已经能灵活运用不同截线截取已知的平行线，构造三种特殊角，再结合已知的等角，对角进行灵活转换，得出不同的解法.虽然几何问题的解决不在于追求方法的多样性，但鼓励学生大胆尝试，充分运用已知条件，有助于提高学生的逻辑推理能力.

四、总 结

总之，“授之以鱼，不如授之以渔”.在几何的教学中，“相交线和平行线”这一部分的知识只是入门，由于学生知识和能力的局限性，教师的教学应从学生的角度出发，充分考虑学生的学习能力，抓住知识主线，帮助学生理清思路，将学习的知识点由单一渐变为综合，几何图形也应该由简单渐变为复杂.由易到难，由简到繁，循环递进式的教学，可以更有效地帮助初步接触几何推理的学生逐步提高逻辑推理的严密性.教师精心备好教学内容的同时，还应该重视学生的错题，多对错题进行辨析，多对学情分析反馈，根据学生的学情不断进行调整优化，练习题、作业题的设计上遵循学习规律，体现从单一到运用再到综合的循环上升，凸显方法和规律，着力提高学生的理解、识图、转换和推理能力，最终实现几何学习的高效、实效.