边红霞

一、教学分析

单调性是函数的一个重要性质，对它的研究需要浓墨重彩，因为不仅它是函数最精彩的内容，也是培养学生数学素养的重要素材.为此我采用的方法是由直观到抽象、由特殊到一般的思维方法，通过观察、思考、归纳，凝练出单调性的概念，从中让学生感知概念形成的过程，体验数学的思想方法，培养学生的数学素养.

（一）学情分析

本节课是在学生学习了函数的概念、函数的表示方法的基础上，仅有对一次、二次函数的认识，学生对函数中两个变量间相互依赖关系仅仅是初步了解，若直接引入会很抽象，因此，我采用从实例引入，从已知自然过渡到未知.

（二）教学目标

1.知识目标：掌握函数增减性的概念及应用；函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图助数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程.

2.能力目标：在探索过程中培养学生分析、归纳、抽象思维及推理判断能力.初步运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题.

3.情感目标：在参与过程中体验成功和挫折，感受学习数学的乐趣.

（三）教学重点与难点

重点：函数的单调性概念及其几何意义.

难点：利用定义判断、证明函数的单调性.

（四）教学方法

根据学生的认知规律，本节采用探究式的教学方法，利用启发、合作探究、由浅入深进行教学，以激发学生思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以熟悉的问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主动参与的积极性.教会学生清晰地思维、严谨地推理，并顺利地完成书面表达.

二、教学过程

（一）创设情境 揭示课题

（课前放幻灯片展示数学之奥妙：数学正沿着它自己的道路无拘无束地前进着，这并不是因为它有什么不受法律约束之类的种种许可证，而是因为数学本来就具有一种由其本性所决定的并且与其存在相符合的自由——数学家Hankel）

教师：数学本身是奥妙无穷的，而函数是其最华美的乐章，对函数的研究伴随高中乃至大学的整个学习过程，今天我们开始研究函数的性质.何谓性质，就是在事物的变化过程中始终保持不变的特征，那么函数具有哪些特征呢？

问题1 随着自变量的变化，函数值呈现怎样的变化规律？

教师：观察下面两个图，分析有怎样的变化规律？

图1 易县中学2010年以来高考二本上线人数

图2 全国耕地面积的变化

学生1：图1说明我校高考二本上线人数，从2010年起逐年增加.

学生2：图2说明全国耕地面积在逐年减少.

教师：对，两个图直观地表现了函数值随着自变量的变化有着一定的变化规律，或增或减.

问题2 函数的图像呈现出怎样的变化趋势？

教师：观察以下三个函数的图像，看随x的增大，y的值有怎样的变化？

学生3：函数y=x+1中函数值随自变量的增大而增大，图像呈上升趋势；函数y=-x+1中函数值随自变量增大而减小，图像呈下降趋势.

学生4：函数y=x2在原点左侧呈下降趋势，在原点右侧呈上升趋势.

教师：很好！从上面的观察分析可以看出，不同的函数，其图像的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图像的这种变化规律就是函数性质的反映.今天我们研究函数的一个重要性质——函数的单调性.

（二）归纳总结 探究新知

教师：如何用数学符号语言来描述这种“上升”与“下降”呢？

学生交流讨论，让学生体会概念形成的过程：观察→思考→讨论→归纳.

教师：回忆学习过的集合，若证明一个集合满足某种属性，应证明集合中的每个元素都满足，而对无限集，我们不可能一一列举，这样就有了一个非常巧妙的方法——任取，任意就代表了所有，这是数学概念最经典的一种描述.

1.师生共同总结：（板书）增（减）函数：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自變量x1，x2，当x1f（x2）），那么就说f（x）在区间D上是增（减）函数，D为其单调区间.

问题3 怎样确定函数的单调区间？

教师：根据上面函数图像，确定函数的单调性及单调区间？

学生5：函数在（-∞，-2）上单调减，在（-2，0）上单调增，在区间0，32上单调减，在32，+∞上单调增.

教师：很好！注意，单调性是函数的局部性质，比如，此函数在R上不具有单调性，但在各区间上单调.

2.函数单调性定义：如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y=f（x）的单调区间.

问题4 在定义中为什么强调：对于区间D内的任意两个自变量x1，x2.

教师：观察反比例函数的图像，确定其单调性.

学生6：反比例函数是减函数，区间是（-∞，0）∪（0，+∞）.

学生7：我觉得不对，虽然在两侧呈现下降，但在整个定义域中不是单调减函数.

教师追问：为什么？

学生8：如果从原点左侧任选一个变量x1，从原点右侧任选一个变量x2，显然x1

学生9：这个单调区间写的也不对.它的单调减区间应该是两个：（-∞，0）和（0，+∞）.

学生10：反比例函数在区间（-∞，0）上是减函数，在区间（0，+∞）上也是减函数.

教师：很好！这道题充分说明了定义中两个变量一定要在区间中任取；另一方面，研究函数的单调性时，一定要指出是在哪个区间上，对于几个相同单调性的区间也不能简单地并在一起.（在这个讨论过程让学生感受数学是严谨的）

（三）质疑答辩 发展思维

问题5 函数单调性的应用（题略）.

（通过例题培养学生数学建模意识，初步了解函数思想，并用其解决实际问题）

（四）总结规律 升华结论

利用定义证明函数f（x）在给定区间D上单调性的一般步骤：

（1）任取x1，x2∈D，且x1

（五）教学思考

这节课是对函数性质的探究发现过程，在教学过程中，数形结合的思想方法体现得淋漓尽致.通过图形观察函数特征，通过特征总结规律，实现由特殊到一般的演变，最后把文字语言转化为符号语言，概括出结论.学生体验了概念形成的全过程，锻炼了观察、分析、总结问题的能力，同时也培养了严谨、科学的数学素养.