成都市第二十中学校高2017届08班(610036)

唐芯瑶●

假设法和构造对称函数解题法在L型函数中的应用

成都市第二十中学校高2017届08班(610036)

唐芯瑶●

构造对称函数解题方法是2016新课标全国卷Ⅰ所出现新题型的主要解题方法，也是多数数学学者解决问题的思路方法.本文通过高考的新题型，重点对假设法和构造对称函数解题法在函数中的应用进行剖析.

构造；对称；翻折；函数

在高中数学学习的过程中，会运用所学习的有限知识解数学问题是其关键内容.当我们使用正确的方法、多种的解题思路，可以使问题很快圆满的解决；相反，我们使用方法不当，思路单一，就会影响解题的速度和效果.现在对高考出现的一种新题型进行探讨，运用假设法和构造对称函数的方法在来解决函数的取值问题和函数零点之和不等式应用问题.

例题 (2016·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

(1)求a的取值范围；

(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2<2.

解 (1)求得f′(x)=(x-1)ex+2a),x∈R.

(注：任意题目均不可忽略定义域，否则在某些题目中可能难度出现难度倍增；我们常常所说的求函数——实际是包含了解析式与定义域两部分)

1°当a>0时：x∈(1,+∞)时，f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增；

x∈(-∞,1)时，f′(x)<0,f(x)在(-∞,1)上单调递减.

∴f(x)min=f(1)=-e.

由零点存在性定理得：a>0时，f(x)在R上必定存在两个零点，故a>0时成立.

2°当a=0时，f(x)=(x-2)ex,f′(x)=(x-1)e

令f′(x)=0得x=1(故函数单调性同1°)

由零点存在性定理得：a=0时，f(x)在R上有且仅有一个零点，故a=0时不成立.

由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

由f(1)=-e，而f(x)有两个零点，只能f(ln(-2a))=0，此方程无解.

综上所述：a≥0(此类问题用极限法讨论较为简便，相对于标准答案)

(2)由(1)知：

当a≥0时，f(x)有两个零点x1,x2,不妨令x1<1

x1≥0时，f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2;设f(x)关于x=1对称函数为g(x)=f(2-x)=-ex+a(1-x)2(x≤1).

(注：设构造对称函数是解题的关键，因为这样我们就可以将一个零点翻折到另一边作比较.相当于比较原函数在极值点两侧的增长率，实则是左侧增长的比右侧慢，但是这个问题过于抽象，因此我们构造一个对称函数来说明，无非就是左侧零点关于x=1的对称点所取得的函数值比右侧零点大)

令u(x)=g(x)-f(x),(x≤1)

⟹u(x)=-ex+a(1-x)2-(x-2)ex-a(x-1)2

⟹u(x)=(1-x)ex≥0

∴x≤1时，g(x)>f(x),∴g(2-x2)>f(2-x2).

而g(2-x2)=f(x2)=f(x1),

∴f(x1)>f(2-x2),又∵f(x)在(-∞,1)上为单调递减

∴x1

已知函数f(x)=ex-ax有两个不同的零点x1,x2,且x2e1x2+x2>2x2x1+x2<2x0(此类题目遇见时应先将参数分离出来然后再单独翻折函数证明，将参数看作一条平行于x轴的直线与分离的新函数相交证明，往往新函数的极值点是突破题目的关键).

评注 观察2016年课标Ⅰ卷的标准答案，大家可能看的似乎一头雾水，实则这是一种构造了对称函数的翻折证明，这类证明问题的通法便是这样.追求简易是的数学的魅力所在，而不在于追求难度和复杂度.我们今天应用的假设法和构造对称函数的方法，正是高考数学用所体现的追求简易，注重数学基础，凸现数学的本原.在例题中应用了函数的单调性，假设法，构造函数法，简易的说我们可以给他一个亲切的名字:翻折证明法，学生学习起来也浅显易懂.

[1]黄加卫.给数学构造性解题方法提个醒[J].中学生数学研究，2006，4：26-28.

[2] 薛金星.怎样解题[M].北京: 北京少年儿童出版社,2003.

[3] 全日制义务教育数学课程标准[M].北京:北京师范大学出版社,2001.

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