邹红林 陈建龙

(东南大学数学学院, 南京 210096)

关于Banach代数中伪Drazin逆的进一步结果

邹红林 陈建龙

(东南大学数学学院, 南京 210096)

伪Drazin逆；Jacobson根；Banach代数

2012年,Wang等[1]在环和Banach代数中引入了伪Drazin逆的概念,并且在一定条件下给出了2个伪Drazin可逆元之和的伪Drazin逆的表达式. 2014年,Zhu等[2]讨论了Banach代数中2个伪Drazin可逆元a,b在满足ab=λba(λ≠0)时,a+b的伪Drazin逆存在的充要条件和表达式；同时, 在此条件下给出了ab的伪Drazin逆的表达式. 本文在条件ab=φ(ba)下，研究了ab与a+b的伪Drazin逆的表达式,其中φ为A上双射的centralizer,a,b为伪Drazin可逆元.

1 定义和引理

1.1 定义

定义1[3]设φ:A→A是一个映射. 若对任意的a,b∈A, 有φ(ab)=aφ(b)=φ(a)b, 则称φ是A上的centralizer.

显然, 对于任意的非零复数λ, 映射:a→λa(a∈A)是A上双射的centralizer.

定义2[1]设a∈A. 若存在x∈A, 满足

则称a是伪Drazin可逆的. 满足上述条件的元素x, 称为a的伪Drazin逆. 若a的伪Drazin逆存在, 则必是唯一的, 记为a⊗. 用ApD表示A中的所有的伪Drazin可逆的元素组成的集合. 若a∈ApD, 记aπ=1-aa⊗.

设p∈A是幂等元, 则元素a∈A可写成如下矩阵表达式:

不难看出, 把a∈A表示成上面的矩阵形式, 若φ是A上的centralizer, 则有

根据文献[4], 对任意的a∈ApD, 取p=aa⊗, 则a和a⊗可表示为

1.2 引理

引理1[3]设φ:A→A是centralizer, 则对任意的正整数n, 下列陈述成立:

1) φn是A上的centralizer;

2) 对任意的a∈A, 有(φ(a))n=φn(an);

3) 若φ是双射, 则φ-n是A上的centralizer.

引理2[3]设φ:A→A是centralizer. 若a,b∈A满足ab=φ(ba), 则对任意的正整数n, 下列等式成立:

1) abn=φn(bna);

2) anb=φn(ban);

3) anbn=φn2(bnan);

引理3[3]设φ:A→A是centralizer, 则

1) 对任意a∈A, 有φ(1)a=aφ(1);

2) 对任意的a,b∈A, 有φ(a+b)=φ(a)+φ(b).

引理4[5]设a,b∈A, 则

1) 若a∈J(A)或b∈J(A), 则ab, ba∈J(A);

2) 若a∈J(A)且b∈J(A), 则a+b∈J(A).

引理5[1]设a,b∈ApD满足ab=ba, 则ab∈ApD且(ab)⊗=a⊗b⊗.

设A1和A2分别表示代数pAp和(1-p)A(1-p), 其中p2=p∈A.

引理7[4]设p2=p,x,y∈A且x,y具有如下矩阵表达式:

(1)

(2)

(3)

2 主要结论

首先给出以下几个命题.

命题4 设φ:A→A是双射的centralizer. 若a,b∈ApD满足ab=φ(ba), 则

1) aa⊗b=baa⊗;

2) bb⊗a=abb⊗.

证明1) 记p=aa⊗, 则有

pb-pbp=pb(1-p)=pnb(1-p)= (aa⊗)nb(1-aa⊗)= (a⊗)nanb(1-aa⊗)= (a⊗)nφn(ban)(1-aa⊗)= (a⊗)nφn(1)ban(1-aa⊗)

这意味着

从而, 可得pb=pbp.另一方面

bp-pbp=(1-p)bp=(1-p)bpn= (1-aa⊗)b(aa⊗)n= (1-aa⊗)ban(a⊗)n= (1-aa⊗)φ-n(anb)(a⊗)n= (1-aa⊗)anφ-n(1)b(a⊗)n

这表明

因此, 可得bp=pbp.

综上所述, 有aa⊗b=baa⊗.

证明2) 类似……