刘忠山，熊志平

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

两个矩阵乘积的{1,3}逆的正序律

刘忠山，熊志平

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

广义逆理论是应用十分广泛的一个数学分支，它在线性代数、矩阵分析、矩阵理论、最优化和数理统计等研究领域有着极其重要的应用. 本文利用广义Schur补的最大秩理论和一些经典的秩等式，研究了两个矩阵乘积的成立的充要条件.

广义逆；Schur补；最大秩；正序律

1 引言及预备知识

定义1[2]409设，满足下列4个Penrose条件：的矩阵称为A的逆，记

定义2[2]409设，若矩阵满足Penrose条件1）和3），称X为A的逆，记作或

定义3[2]409设，若矩阵满足Penrose条件1）和4），称X为A的逆，记作或

引理1[3]679设和，则：

引理2[3]679设且，则：

引理3[5]54,[6]26设，l和m是cn上的互补子空间，即，Pl,m为沿m到l上的投影算子，则：

引理4[5]48,[6]9-10设，存在矩阵，使得：

2 主要结果

证明 由引理4的1），可知：

成立，当且仅当等式

对式（3），再次利用引理1和引理2，可得：

结合等式（1）、（2）和（4），可得定理1的结论.定理证毕.

根据定理1以及引理2和引理3，很容易得出如下推论.

利用定理1和推论1相同的证明方法，可以证得如下结论.

证明 由引理4的2），可知：

成立，当且仅当等式

对式（7），再次利用引理1和引理2，可得：

结合等式（5）、（6）和（8），可得定理2的结论.定理证毕.

[1] 王国荣.矩阵与算子广义逆[M].北京：科学出版社，1994.

[2] PENROSE R.A generalized inverse for matrix [J].Proc Cambridge Philos Soc, 1955, 51: 406-413.

[3] TIAN Yongge.More on maximal and minimal ranks of Schur complements with application [J].Applied Mathematics and Computation, 2004, 152(3): 675-692.

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[6] WANG Guorong, WEI Yimin, QIAO Sanzheng.Generalized inverse: theory and computations [M].Beijing: Science Press, 2004: 9-26.

[责任编辑：熊玉涛]

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