李 庆

(西南民族大学 计算机科学与技术学院, 四川 成都 610041)

整环上的u-算子及其同调特征

李 庆

(西南民族大学 计算机科学与技术学院, 四川 成都 610041)

u-算子; UP整环;u-正合列;u-模

1 预备知识

在拟Frobenius环研究中,Faith猜测,即完全的单边自内射环是拟Frobenius环,成为众多学者关注的焦点;由此将内射性进行推广成为众多学者研究的课题,参见文献[1-3].文献[3]引入极大性内射模的概念;文献[4]研究了交换环上的极大性内射模,特别在MFG整环上通过极大性内射模来构造一个星型算子,深入刻画了极大性内射模的性质;文献[5]在文献[4]的基础上将极大性内射模推广到U-内射模并展开了一系列的讨论.本文期望类通过U-内射模建立一个新的星型算子,将乘法理想理论与同调性质结合起来展开对U-内射模较为系统的讨论.

2 自U-内射环

首先回顾文献[5]中的几个重要概念.

定义 2.1[5]设R是交换环,M是R-模,U-Tor(M)={x∈M|存在J∈U,使得Jx=0}，则U-Tor(M)是M的子模,称为M的U-挠子模.若U-Tor(M)=M,称M为U-挠模;若U-Tor(M)=0,称M为U-无挠模.

定义 2.3 设R是交换环,若R作为R-模是U-内射模,则称R为自U-内射环.若环R中的理想作为R-模是U-内射模,称该理想为U-内射理想.

定理 2.4 设R是U-无挠的自U-内射环,则以下各条等价:

1) M是U-无挠模;

2) 对任何x∈M,annR(x)是R的U-内射理想;

3) 对任何X⊆M,annR(X)是R的U-内射理想.

证明 1)⟹2) 设J∈U,a∈R,Ja⊆annR(x),故Jax=0.因M是U-无挠模,则ax=0.故a∈annR(x).由文献[5]的定理3.4,annR(x)是U-内射模.

2)⟹3) 因ann(X)=∩{ann(x)|x∈X},由文献[5]的推论3.5,ann(X)是U-内射模.

3)⟹1) 设x∈M,Jx=0,其中J∈U,故J⊆ann(x).因R是U-内射模,故由文献[5]的定理3.4,1∈ann(x).故x=0.因此,M是U-无挠模.

由文献[5]的定理3.9易得出以下结论.

命题 2.5 设R是U-无挠的自U-内射环,M是R-模,则对偶模M*和二次对偶模……