汪圣祥，金朝永，陈 玲

（广东工业大学应用数学学院 广东 广州 510520）

用变分迭代方法求解自变量分段连续型微分方程

汪圣祥，金朝永，陈 玲

（广东工业大学应用数学学院 广东 广州 510520）

本文主要利用变分迭代方法求解自变量分段连续型延迟微分方程，得到的变分迭代解收敛于真实解，由此得到了变分迭代法也可以作为求解向前型EPCA方程的一种有效方法.

变分迭代法；延迟微分方程；拉氏乘子；限制变分

0 引言

变分迭代是由Inokuti[1]提出来的，何吉欢[2-4]推广了的，用来解一些线性、非线性和具有初值以及边值条件等问题一种方法.变分迭代法对于解非线性问题是一种有力的方法已经被验证.随着变分迭代法的发展，研究者们[5-9]用变分迭代法求解了许多微分方程的近似解，并且得到了较好的结果，但是没有用变分迭代法求解EPCA方程，因此用变分迭代法求解EPCA方程作为一个新的课题，具有一定的研究价值.本文主要用这种方法来求解自变量分段连续型延迟微分方程，并用数值实例说明此方法对于解自变量分段连续型延迟微分方程是有效的.

1 超前型EPCA的变分迭代解

1.1 超前型EPCA的解析解

本章主要考虑下面的微分方程：

定理1[10]如果对于任意给定的x0，方程（1）在［0，＋∞）上有唯一的解x（t）：

证明 下面用数学归纳法给出定理1的证明

当n＝0和1时成立，

假设当n＝k时成立，则

由迭代公式（5）得

即当n＝k＋1时成立，故定理2正确.

当t∈［1，2）时，迭代格式为

即当i＝k＋1时成立，故原定理正确.

2 数值实验

在本节中，将结合具体的例子来说明用变分迭代法可以快速、便捷的求出超前型EPCA的近似解，并且近似解和精确解的形式一致.

例 考虑下面的方程

当i＝0时，解析近似解的图像与真实解的图像如图1.

图1 各阶解析近似解的结果与精确解x（t），n＝5，10，13（左图）和n＝19（右图）

当i＝1时，解析近似解的图像与真实解的图像如图2.

图2 各阶解析近似解的结果与精确解x（t），n＝5，10，13（左图）和n＝19（右图）

当i＝8时，解析近似解的图像与真实解的图像如下图3.

图3 各阶解析近似解的结果与精确解x（t），n＝5，10，13（左图）和n＝19（右图）

当i＝15时，解析近似解的图像与真实解的图像如图4.

图4 各阶解析近似解的结果与精确解x（t），n＝5，10，13（左图）和n＝19（右图）

由图1-4可知随着迭代次数的增加，变分迭代解越来越接近于真实解.

4 结论

本文用变分迭代法来解方程（3），得到了很好的结论，用理论和数值实验验证了变分迭代法解求解自变量分段连续型微分方程的可行性，求解过程比较简单，能够快速的得出结果.

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Variational Iteration Method for Differential Equation with Piecewise Continuous Arguments

WANG Shengxiang,JIN Chaoyong,CHEN Ling
（School of Applied Mathematics,GuangdongUniversityof Technology,Guangzhou 510520,Guangdong,China）

In this paper,the use of variational iteration method for solving piecewise continuous delay differential equation is proposed.Moreover,the analytical approximation solutions in different intervals are given and the convergence is proved.Finally,variational iteration method can also be used as an effective method for solving equations of forward-EPCA.

variational iteration method;delay differential equations;Lagrange multiplier; restricted variation

O175

A

2016-06-22

汪圣祥（1989—），男，汉族，湖北省咸宁市人.研究方向：微分动力系统.E-mail：275816186@qq.com

1001-4217（2017）02-0018-08