陈文雄

(华侨大学 数学科学学院， 福建 泉州 362021)

具有渐近二次项的一阶离散型哈密尔顿系统同宿轨的存在性

陈文雄

(华侨大学 数学科学学院， 福建 泉州 362021)

讨论具有渐近二次项的一阶离散型哈密尔顿系统同宿轨的存在性.在适当的条件下，利用强不定泛函的临界点定理得到渐近二次的哈密尔顿系统至少有一个非平凡的同宿轨.

哈密尔顿系统； 离散型； 同宿轨； 渐近二次； 临界点理论

1 预备知识

许多学者通过各种方法研究连续哈密尔顿系统的各种解的存在性及多重性[1-13]，离散型哈密尔顿系统的研究也得到一些成果[14-24].目前，对于离散型系统解的存在性大多数都集中于周期解，而同宿轨的结果并不多.本文研究的一阶离散型哈密尔顿系统为

JH(t，x(t)).

(2)

2 基本假设与主要结果

关于非线性项作以下5点假设：

R0) 存在正整数T，使得S(n+T)=S(n)，并且对所有n∈Z,J0S(n)是正定矩阵；

R1)R(n，·)∈C1(R2N，R)，对于n∈Z,z∈R2N均有R(n+T，z)=R(n，z)；

R2)R(n，z)≥0，当|z|→0时，有R(n，z)=o(|z|)；

R3) 当|z|→∞时,R(n，z)-S∞(n)z=o(|z|),其中，S∞(n)是实对称矩阵，且λ∞∶=λS∞>2+Λ0；

文中得出如下主要结果.

定理1 设条件R0)～R4)均成立，则系统(1)至少存在一个非平凡的同宿轨.

3 变分框架

(3)

若定义空间E上两个算子A及S，即Ax={-JΔLx(n-1)}n∈Z，Sx={-S(n)x(n)}n∈Z，x∈E，则A及S均是有界线性的自伴算子[14].

(4)

由条件R1)～R3)可知，对任意的ε>0,p≥2，存在Cε>0，使得

|R(n，z)|≤ε|z|+Cε|z|p-1， |R(n，z)|≤ε|z|2+Cε|

且由空间E可连续嵌入到空间lp(Z，R2N)(2

若x∈E是泛函Φ的一个临界点，则由式(6)可知，x是系统(1)的一个同宿轨.因此，要证明文中结果成立，只需证明泛函Φ有非平凡的临界点即可.

为了建立合适的变分框架，需要对自伴算子A+S的谱结构进行分析.以σ(A+S)和σe(A+S)分别表示算子A+S的谱和本质谱，则关于A+S的谱有以下……