毕 超 陈正茂 张立斌 罗松保



气囊式液压蓄能器的数学模型与仿真分析

毕 超1陈正茂2张立斌1罗松保1

（1. 北京航空精密机械研究所，精密制造技术航空科技重点实验室，北京 100076；2. 北京信息高技术研究所，北京 100085）

为了提高液体静压导轨系统的动态工作性能，针对其中的气囊式液压蓄能器开展了基础理论研究，通过合理假设和公式推导得到了以气腔体积为输出的蓄能器数学模型，并基于此建立了蓄能器的仿真分析模型，考察了蓄能器在不同的充气压力下对液压回路中的阶跃冲击和脉动冲击的衰减效果，并通过压力衰减实验考察了蓄能器对供油管路中的油液波动的衰减规律。实验结果与仿真结果基本吻合，表明了所建立的气囊式液压蓄能器模型的有效性和实用性。

蓄能器；数学模型；液压系统；传递函数

1 引言

近年来，随着液压理论与技术的深入研究，基于液压原理的传动与控制系统已经广泛应用于航空航天、工程机械、能源动力和武器装备等领域。在这些系统中，液压蓄能器作为一种重要的能量储存与释放装置，可以起到改善液压系统性能的作用，从而使其稳定、可靠地运行[1]。液压蓄能器能够在一定时间内将液压回路中由动力元件（如油泵等）产生的多余能量转换成其他形式的能量储存起来，并将这些能量在执行元件所需能量不足时释放出来，这样就使蓄能器具有了蓄积压力能和吸收压力冲击的功能，从而减轻了油路中的压力波动并提高了能量利用的灵活性[2，3]，因而被广泛应用于各类液压自动化设备中。

在各种形式的液压蓄能器中，气囊式蓄能器是基于气体（氮气）的可压缩性而研制出的一种液压蓄能装置，由于其具有体积小、重量轻、响应快、气液隔离和易于安装等特点，并且可以做成不同规格，因而目前应用最为广泛[4]。具体说来，气囊式液压蓄能器主要包括油液部分和气囊（内部装有预充压力的氮气），当液压回路中的压力升高时，油液进入蓄能器，此时气囊被压缩，吸收了油液的压力，从而使回路中的压力不再上升；而当液压回路中的压力下降时，被压缩的气囊膨胀，进而将油液压入回路，从而使回路中的压力下降得到缓冲[5]。

为了提高Nanosys-1000数控光学超精密加工系统中的液体静压导轨的动态工作性能，建立导轨系统中的气囊式液压蓄能器的数学模型，并进行了仿真分析与实验验证。首先，将蓄能器分为气腔和液腔两个部分，分别研究了模型中的各个参数和蓄能器工作参数之间的对应关系；然后建立了蓄能器的仿真模型，主要分析了蓄能器在衰减阶跃冲击和脉动冲击方面的应用效果；最后，通过实验考察了蓄能器对液压回路中的波动压力的衰减情况，与仿真结果基本吻合。

2 蓄能器的数学模型

如图1所示，气囊式液压蓄能器主要由充气阀、耐压壳体、弹性气囊、菌形阀、进油口和放气塞等部分组成[6]。其中，弹性气囊内部的气腔中装有预充压力的氮气，而液腔通过进油口与液压回路相通。在气囊式蓄能器的工作过程中，弹性气囊内的氮气主要承受垂直方向的载荷[7]。

图1 气囊式液压蓄能器的基本结构

为了得到气囊式液压蓄能器的整体数学模型，首先将蓄能器本体分为气腔和液腔两个部分，然后通过受力分析研究每个部分的数学模型，最后再将二者经由相关参数联系起来。在建立蓄能器的数学模型时，需要做出如下合理假设以简化建模过程：a.液腔的充液过程较慢，因而可以将气体压强和体积的变化近似为等温过程；b.液腔的放液过程较快，因而可以将气体压强和体积的变化近似为绝热过程；c.气囊的质量与液腔中的油液质量相比很小，可以忽略，而且气囊在变形前后的外径保持不变；d.与气体相比，油液的压缩性可以忽略[8]。

2.1 气腔模型

一般情况下，可以将气囊中充入的氮气视为理想气体（不计粘性的气体），其状态可以通过压强（Pa）、体积（m3）和热力学温度（K）进行完整描述[9]。根据理想气体的数学模型，一定质量的理想气体的状态方程为：

其中，为理想气体常数；为理想气体的绝热指数，对于弹性气囊内的氮气而言，可以取=1.41。

在蓄能器液腔的放液过程中，气腔中气体的压强和体积的变化过程近似为绝热过程，因而此过程中的气体状态方程为：

而在蓄能器液腔的充液过程中，气腔中气体的压强和体积的变化过程近似为等温过程，此时的气体状态方程可以通过令式（2）中的=1来得到。当蓄能器充液时，液压回路中的油液将通过进油口进入液腔，此时弹性气囊会受到来自液腔的压力，这样就会使密封在气囊中的氮气被压缩，其产生的效果类似于弹簧，因而可以将此过程简化为一个“气体弹簧-阻尼”模型，如图2所示。

图2 “气体弹簧-阻尼”模型

对弹性气囊进行受力分析，可以得到气体的受力平衡方程为：

其中，为气体的刚度系数，N/m；为气体的阻尼系数，N·s/m；为隔离气腔和液腔的气囊面积，m2。在建模过程中，可以将近似取为蓄能器壳体的中间横截面的面积。

2.2 液腔模型

蓄能器整体的简化力学模型如图3所示，将受力对象限定在液腔中的油液上，并设其质量为。

图3 蓄能器的简化力学模型

显然，在不考虑油液的弹性模量时，其受力平衡方程为：

其中，p为蓄能器的进油口压强；为液腔中的油液质量；为油液的粘性阻尼。

结合式（3）和式（4），可以得到

式（5）建立了蓄能器中液腔与气腔之间的参数关系。设（0，0）为气腔部分的充气压强及其在该工作状态下的体积，（，）为气腔部分的任意工作状态，根据理想气体的状态方程（2），有：

（6）

对式（6）在工作点（0，0）处作Taylor展开，并略去高次项，得

将式（6）和式（7）带入式（5）中，经过整理可以得到以气腔体积为输出的蓄能器数学模型，即

（8）

将式（8）转化为标准形式，得

其中，ω为蓄能器的无阻尼固有频率：

3 模型参数的确定

3.1 油液等效质量

如果系统的工作压强为，那么此时系统中气腔承受的压强也为，根据式（6），可以得到

其中，为气腔在系统工作压强下的体积。因此，可以得到液腔中油液的等效体积Δ为：

（11）

设油液的密度为，则液腔中油液的等效质量为：

当油液的温度为50℃时，其密度=855kg/m3。由式（12）可以看出，当蓄能器的工作压强确定后，液腔中油液的等效质量与气腔的充气压强0呈减函数关系；而当气腔的充气压强0确定后，油液的等效质量与蓄能器的工作压强呈增函数关系。

3.2 油液粘性阻尼系数

油液粘性阻尼系数的表达式为：

其中，l为蓄能器液腔的等效长度，定义为液腔中油液的总体积Δ与蓄能器壳体的横截面积的比值，即l=Δ/；为油液的动力粘度，其表达式为

（14）

其中，0为一个大气压下的油液的动力粘度（Pa·s），本文取0=0.35Pa·s；为油液的粘压系数，=0.015～0.035MPa-1，为了方便计算，本文取=0.02 MPa-1。从式（14）可以看出，当蓄能器的工作压强确定后，油液的粘性阻尼系数与蓄能器气腔的充气压强0之间为减函数关系；而当气腔的充气压强0确定后，油液的粘性阻尼系数与蓄能器的工作压强之间为增函数关系。

3.3 气体阻尼系数

气体的阻尼系数的表达式为：

其中，为气体的粘度系数，Pa·s。本文取=1.894×10-2Pa·s。从式（15）可以看出，蓄能器气腔中的气体阻尼系数与其充气压强0呈增函数关系；而当蓄能器的充气压强0确定后，气体的阻尼系数与蓄能器的工作压强呈减函数关系。

3.4 气体刚度

在如图2所示的“气体弹簧-阻尼”模型中，气体弹簧的刚度定义为气体体积的变化量与气体压强的变化量之间的比值。因此，气囊中气体的刚度表达式为：

其中，p为密封气体在某一时刻的压强，V为密封气体在该时刻的体积。在本文中，将0和0分别选取为蓄能器的充气压强和总容积（也可以认为此时是液腔中无油液时的气体状态）。由式（16）可知，当蓄能器和气腔的充气压强0确定后，气体的刚度随着系统工作压强的增大而增大；而当蓄能器及其工作压强确定后，气体的刚度随着充气压强0的增大而减小。同时，气体的刚度与蓄能器总容积0之间为反比例函数关系。

3.5 无阻尼固有频率和阻尼系数

将式（12）～式（16）分别代入式（9）中，消去模型参数，就可以得到无阻尼固有频率ω、阻尼系数与系统工况、蓄能器结构参数（如蓄能器壳体的横截面积）之间的关系，即：

当气囊式液压蓄能器用于不同用途时，其参数的选择要根据具体要求对ω、进行优化，这样就可以得到蓄能器的相应工作参数。

4 蓄能器吸收压力冲击的仿真

在上一节中，建立了以蓄能器的进油口压强p为输入信号，以气腔体积为输出信号的传递函数()。由蓄能器的传递函数()可知，其模型为二阶系统，本文在Matlab软件的Simulink集成环境中建立了相应的仿真模型，以考察蓄能器在不同的充气压力下对液压回路中的阶跃冲击和脉冲压力的衰减情况。

在本文中，气囊式液压蓄能器的型号为NXQ-L4，其体积为0.004m3，横截面积为0.0137m2，系统压强为1.7MPa，充气压强分别为0.6、0.8、1、1.2、1.4和1.6MPa。将其分别代入ω和的表达式中，经计算就可以得到不同充气压强下的ω和值，再将这些参数输入到仿真模型中，并给仿真模型输入幅值为0.1MPa的阶跃信号，就可以得到相应充气压强下的蓄能器响应曲线。

如图4所示，蓄能器在不同的充气压强下，对冲击压力和脉动压力的衰减程度不一样。蓄能器充气压强越低，蓄能器对阶跃冲击的衰减程度越高，能衰减80%左右的冲击压力；而充气压强升高时，其对阶跃冲击的响应时间变短，当充气压强为1.6MPa时，其响应时间小于2s。同时，蓄能器对脉动信号也具有类似的衰减效果，其充气压强的大小反映出蓄能器对脉动压力跟随能力的高低，充气压强越高，其跟随效果越好。综合蓄能器的衰减效果、响应时间及跟随能力，在液压系统的管路中，蓄能器的充气压强应该选取工作压强的0.5～0.6倍，这样才能最大限度地发挥出蓄能器的功用。

a 消除阶跃冲击的响应曲线

b 消除脉动冲击的响应曲线

图4 蓄能器的响应曲线

5 蓄能器的衰减压力实验

针对Nanosystem-1000数控光学超精密加工系统的液体静压导轨系统的气囊式液压蓄能器进行实验，考察蓄能器对油泵出油口波动压力的衰减情况。

5.1 实验现场

由于蓄能器的充气过程较为繁琐，因而本文在蓄能器的衰减压力实验中，只针对充气压强为最佳（0.55倍工作压强）的情况下实验。由于只需要考察蓄能器对液体静压导轨管路中波动压力的衰减百分比情况，因而可以采取对液体回路的管壁振动情况进行间接考察的方式，实验现场如图5所示。

a 实验系统       b 加装蓄能器       c 未加装蓄能器

5.2 实验结果

对液体静压导轨系统的液压回路振动情况进行信号采集，并对回路中加装蓄能器和未加装蓄能器的情况进行对比，所测得实验数据分别如图6和图7所示。

图6 未加装蓄能器时回路的振动情况

图7 加装蓄能器后的回路振动情况

由图6和图7可知，在未加装蓄能器时，油泵输出油液时回路的振动峰-峰值为0.081mm；加装蓄能器之后，输油回路的管壁振动峰-峰值为0.021mm，衰减了74%的波动压力。本实验从间接角度分析了蓄能器对液体静压导轨的管路中波动压力的衰减情况，在最佳充气压强的条件下，NXQ-L4型蓄能器可衰减管路中70%的波动压力，与仿真结果基本吻合。

5 结束语

为了确保Nanosys-1000机床中的液体静压导轨的运行稳定性和精度，对其中的重要液压元件——气囊式液压蓄能器进行了数学建模与仿真分析，并实验验证。根据蓄能器的结构及工作原理，建立了简化的蓄能器数学模型，得到了蓄能器的输入输出函数，并通过仿真得出了蓄能器在不同的充气压强下对液体静压导轨系统中的波动油液压力的衰减情况，仿真结果表明蓄能器的充气压强应该选取工作压强的0.5～0.6倍，以最大限度地发挥出蓄能器的功用。在蓄能器的衰减压力实验中，考察了蓄能器对油泵出油口波动压力的衰减情况，在最佳充气压强的条件下，蓄能器可衰减管路中74%的波动压力，与仿真结果基本一致。

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Mathematical Model and Simulation Analysis of Hydraulic Bladder Accumulator

Bi Chao1Chen Zhengmao2Zhang Libin1Luo Songbao1

(1. Key Laboratory of Science and Technology on Precision Manufacturing Technology, Beijing Precision Engineering Institute for Aircraft Industry, Beijing 100076；2. Beijing Information and High Technology Research Institute, Beijing 100085)

In order to improve the dynamic performance of the hydrostatic guideway system, the basic theory of hydraulic bladder accumulator in it is studied in the paper. Firstly, the mathematic model of the accumulator is established through reasonable assumption and formula derivation, whose output is the volume of the cavity. And then, the simulation analysis model of the accumulator is set up based on the mathematic model, in which the performance of the accumulator in decreasing the pulsatile impact and absorbing the pressure impact is inspected. Finally, the law of attenuating the fluctuation of the hydraulic oil in the pipelines is inspected by experiment, in which the experiment results shown good agreement with the simulation ones. Therefore, the mathematic model of the hydraulic bladder accumulator built up in the paper is effective and practical.

accumulator；mathematical model；hydraulic system；transfer function

“高档数控机床与基础制造装备”国家科技重大专项（No. 2013ZX04001071）。

毕超（1987-），高级工程师，仪器科学与技术专业；研究方向：精密测试技术及仪器。

2016-12-27