李创第 丁昊 葛新广

摘 要：为建立粘弹性耗能结构整体系统的精确模态分解反应谱设计法，对单自由度一般线性粘弹性阻尼器耗能减震系统随机地震响应进行系统研究.在进行时域非扩阶精确建模基础上，应用传递函数法，得到结构整体系统时域瞬态响应精确解；然后，运用标准振子分解法，将基于Kanai-Tajimi的响应方差精确分解为一阶和二阶标准振子响应方差的线性组合，并用算例验证了本文方法的正确性，从而建立了耗能结构整体系统基于Kanni- Tajimi激励响应特性分析的一整套方法.

关键词：传递函数法；标准振子分解法；随机响应；精确解；粘弹性耗能结构整体系统

中图分类号：TU311.3 文献标志码：A

0 引言

粘弹性阻尼器已广泛用于各种土木结构的抗震抗风耗能减振[1-4].橡胶基础隔震支座本质上也是一种粘弹性阻尼器[5-6].粘弹性减震控制的实用设计理论及其在规范中的应用已被列为我国土木结构振动控制领域近期需要深入研究的关键科学问题之一[7].

我国目前分析水平地震作用的方法主要有底部剪力法和振型分解反应谱法.对于高度不超过40 m，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可采用底部剪力法計算.除上述结构以外的建筑结构，宜采用“振型分解反应谱法”.后者是利用单自由度体系的加速度设计反应谱和振型分解的原理，求解各阶振型对应的等效地震作用，然后按照一定的组合原则对各阶振型的地震作用效应进行组合，从而得到多自由度体系的地震作用效应.目前随着新型隔震技术的快速发展及各种粘弹性阻尼器的大量使用，使此类频率依赖结构呈现出大阻尼比和强非经典阻尼分布的特点，结构的动力特性随之改变，已失去严格的振型概念，振型分解法随之失效，传统方法已不能对结构运动方程进行解耦.

粘弹性阻尼耗能结构的现有解析法为扩阶精确法和非扩阶近似法.扩阶精确法的不足在于扩阶方程组的变量个数剧增，计算效率低和物理意义不明确等；该法主要用于易扩阶近似模型，如广义Maxwell[8-11]模型等，其他模型应用时使用方法将受到限制；此外该法尚未涉及对耗能结构安全有重大影响的阻尼器受力的响应.非扩阶近似法有模态应变能法[12]、随机平均法[13]和强行振型分解法[14]，由于它们均采用较多近似假设，其精度及适用范围有待提高.

国内学者基于模态应变能法提出了强行振型解耦法，建立了基于小阻尼比条件下的振型分解反应谱设计法，并写入现行抗震规范.由于该法在解耦时强行忽略非对角元素的耦联作用，因此在求解地震作用时会存在一定的误差；此外该法仅在小阻尼比的情况下具有较好的精度，而对前述频率结构进行解耦时会产生较大的误差，不利于进行有效的抗震设计.此外，阻尼器的受力性能对耗能结构安全有重大影响，国内外土木工程领域已明确提出要提高此类保护系统的（如阻尼器等）安全等级及建立相关实用设计方法[7].而我国现行抗震规范尚未建立耗能结构保护系统基于规范反应谱[15-18]的抗震设计方法，因此建立单自由度粘弹性耗能整体系统的精确模态分解反应谱设计法（包括阻尼器等）就显得尤为必要.

传递函数法的原理是通过对变频的微分积分混合型运动方程进行拉普拉斯变换，将原时变结构转换为定常结构，在拉氏域内对运动方程进行解耦，降低了积分微分混合型方程的求解难度，且求解过程简单，使得计算效率相比传统方法显著提高，但该方法尚未见应用于粘弹性阻尼器频率相关（即依赖于频率）系统.本文用传递函数法获得此类结构系统的时域瞬态响应精确解，并应用标准振子分解法得到了其在Kanai-Tajimi谱[19-21]下的响应方差，由于基于标准振子分解的方差响应可直接应用于抗震规范的设计取值分析，从而构建了此类耗能减震系统基于Kanni- Tajimi激励响应特性分析的一整套方法.

1 结构运动方程

1.1 阻尼器本构方程

对于一般线性粘弹性阻尼器PQ（t），其本构方程为：

PQ（t）=Q（t-？子）（？子）d？子=kQxQ（t）+P（t）

P（t）=hQ（t-？子）Q（？子）d？子（1）

式中：PQ（t）——阻尼器的受力；xQ（t）——阻尼器的相对位移；Q（t）——阻尼器的松弛模量函数；kQ——阻尼器的平衡刚度，且满足kQ=Q（+∞）；hQ（t）——阻尼器的松弛函数，且满足hQ（t）=Q（t）-Q（+∞）.

对于一般线性粘弹性阻尼器PQ（t），它的Q（s）可表示为[4]：

Q（s）=（2）

式中：Q（s）为hQ（t）的拉氏变换；qn（s）和qn-1（s）分别为s的n次和（n-1）次多项式函数.

1.2 结构运动方程

单自由度结构计算简图如图1所示，结构运动方程为：

m+c+kx+PQ（t）=f（t）（3）

式中：m，c，k分别为结构的质量、阻尼和刚度；x——结构位移； f（t）——作用于结构的任意外部激励，特别地，对于地震动激励，f（t）=-mg（t），其中g（t）为地震地面加速度.

结构整体方程式（1）—式（3）可化简为：

+2？孜0 ？棕0 +x+hQ（t-？子）（？子）d？子=（4）

式中：

=； 2？孜0 ？棕0=（5）

2 结构系统特征值和传递函数

2.1 结构系统特征值

设结构的初始条件为：

x（0）=x0；（0）=0（6）

对式（1）和式（4）取拉氏变换，可得：

Dx（s）（s）=（s）；（s）=Hx（s）（s）（7）

DP（s）（s）=（s）-DP（s）Q（s）x0；（s）=HP（s）（s）-Q（s）x0（8）

式中：（s），（s），Q（s）分别为P（t），x（t），hQ（t）的拉氏变换；Dx（s）和Hx（s）分别为结构位移x（t）的动刚和传递函数；DP（s）和HP（s）分别为阻尼力的（s）动刚和传递函数；（s）是等效力函数；它们的表达式为：

Dx（s）=（s）=s2+2？孜0？棕0s+sQ（s）+（9）

DP（s）=（s）= （10）

（s）=（s）+Q（s）+2？孜0？棕0+s x0+0（11）

式中：（s）为f（t）的拉氏变换.

结构特征值sj及其对应模态uj滿足的方程为：

Dx（sj）=0；Dx（sj）uj=0（12）

阻尼器特征值？姿j及其对应模态vj满足的方程为：

DP（？姿j）=0；DP（sj）vj=0 （13）

将式（2）代入式（12）和式（13），则结构和阻尼器特征值方程分别化为：

m（+2？孜0 ？棕0 sj+）qn（sj）+sqn-1（sj）=0 （14）

m（+2？孜0 ？棕0 ？姿j+）qn（？姿j）+sqn-1（？姿j）=0 （15）

式（14）和式（15）表明：结构和阻尼器的N个（N=2×1+n）特征值完全相同，即：sj=？姿j（j=1，…，N）；由于结构是稳定的，所以在N个特征值中，将有2×1个负实部共轭特征值和n个负实数特征值.

2.2 结构系统传递函数

2.2.1 结构传递函数

由于结构特征值sj（j=1，…，N）是结构传递函数Hx（s）的极值点，因此结构传递函数Hx（s）可表示为：

Hx（s）===（16）

式中：？浊j为待求常数.

由式（16），可将结构模态ui表示为：

ui==？浊iui， i=1，…，N（17）

？浊j==， j=1，…，N（18）

由式（9）可得：

=2sj+2？孜0？棕0+Q（sj）+sj（19）

式（16）、式（18）和式（19）表明：结构位移传递函数可用结构特征值sj解析表示，与结构模态uj无关，故不失一般性，可取结构模态uj=1（j=1，…，N）.

同理，可求得sHx（s）的解析式为：

sHx（s）== （20）

2.2.2 阻尼器传递函数

同理，阻尼器传递函数HP（s）可表示为：

HP（s）=== （21）

由式（10），并考虑关系式（12）和式（18），可得：

？滋j===sj？浊jhQ（sj）， j=1，…，N （22）

总之，从式（16）、式（20）和式（21）可以看出：结构系统传递函数均可用结构特征值sj解析表示，且结构模态uj=1（j=1，…，N）.

3 结构系统时域瞬态响应精确解

3.1 结构响应精确解

由式（7）、式（11）和式（16），有：

x（s）=Hx（s）（s）=？浊j++x0（23）

对式（23）取拉氏逆变换，得：

x（t）=？浊jef（？子）+hQ（？子）x0d？子+e0+（2？孜0 ？棕0+sj）x0+x0 ？啄（t） （24）

式中：？啄（t）为Dirac delta函数.

对于t>0，结构位移响应可进一步表示为：

x（t）=？浊jef（？子）d？子+aj（t）（25）

式中：aj（t）表示由初始条件产生的响应，

aj（t）=ehQ（？子）x0d？子+e0+（2？孜0 ？棕+sj）x0（26）

显然，对于零初始条件，aj（t）=0（j=1，…，N）.

同理，对于t>0，由式（8）、式（11）和式（20），结构速度响应为：

（t）=sj？浊jef（？子）d？子+aj（t）（27）

3.2 阻尼器受力瞬态响应精确解

同理，对于t>0，由式（8）、式（11）和式（21），阻尼力响应为：

P（t）=sj？浊jQ（sj）ef（？子）d？子+aj（t）-x0hQ（t）（28）

对于t>0，由式（1）、式（24）和式（28），阻尼器响应为：

PQ（t）=kQ x+P（t）=？浊jkQ+sjQ（sj）ef（？子）d？子+aj（t）-x0 hQ（t）（29）

3.3 结构系统地震响应

特别地，对于地震动激励，f（t）=-mg，在零初始条件下，由式（25）、式（27）～式（29），耗能减震系统的结构位移、速度以及阻尼器受力等系统响应量S（t）均可以统一表示为：

S（t）=？籽jbj（t）（30）

式中：？籽j为结构系统响应S（t）对应已得的响应系数，例如，对于结构速度响应S（t），？籽j=sj？浊j；yj（t）为标准一阶系统对地震激励的响应，bj（t）=-eg（？子）d？子， j=1，…，N.

3.4 小结

1） 由式（14）和式（15）看出，经过严格的数学推导得出了结构特征方程与阻尼器特征方程具有相同的特征值sj；

2） 由式（16）、式（20）和式（21）看出，结构传递函数与阻尼器传递函数均可以用特征值sj及对应的响应系数？籽j进行解析表示；

3） 由式（25）、式（27）和式（29）看出，应用拉氏逆变换，可以分别求出结构位移、速度和阻尼器受力的时域瞬态响应精确解；

4） 由式（30）看出，结构系统响应S（t）完全类似于多自由度振型叠加法解耦形式，并且各特征值对应的各模态均可以取为1，具有明确的物理意义；

5） 除求解特征值sj及对应系数？籽j外，其他计算过程均为严格的解析表达式，并且系统响应的计算分析可以完全归结于对特征值和对应模态的分析；

6） 在拉氏域内对运动方程进行解耦，降低了积分微分混合型方程的求解难度，且求解过程简单，使得计算效率相比传统方法显著提高.

4 结构系统平稳响应解析解

4.1 基于Kanni-Tajimi激励谱地震激励模型

设零均值为平稳随机过程激励g（t）的相关函数C（？子）和谱密度函数S（？棕）为：

C（？子）=Eg（t）g（t+？子）=？滓2e（cos？茁？子+？滋sin？茁？子）（31）

S（？棕）=（32）

式中：E[·]表示取数学期望；？子和？棕分别为g（t）的时差和频率变量；？滓2，？琢，？茁，？滋分别为g（t）的方差、相关因子、卓越频率因子和正弦函数参与因子.

当？滓2=；？琢=？孜g？棕g；？茁=？棕g；？滋=·时，有：

S（？棕）=s0（33）

式（33）即为结构地震工程分析中常用的Kanni- Tajimi激励谱模型[25]，其中：s0是一反应地震动强弱程度的谱常数；？棕g和？孜g分别是地震地面特征频率和阻尼比.

4.2 结构系统响应方差解析式

4.2.1 结构系统响应方差的标准振子分解

由于结构是稳定的，所以在N个特征值中，将有2×1个负实部共轭特征值和n个负实数特征值.令实特征值（j=1，…，n）和复特征值（j=1，2）及它们对应的响应系数如下：

=-？琢j，（？琢j>0）；=ej （j=1，…，n）（34）

==-？孜1？棕1+i？棕1； ==a1+ib1（35）

式中，“—”表示取复共轭；？棕1和？孜1分别表示结构振动模态的频率和阻尼器比，它们可以从复特征值中得到：

？棕1=s；？孜1=-（36）

结构系统响应方差可表示为：

ES（t1）S（t2）=？籽j ？籽kEg（t1）g（t2）e d？子1d？子2=

？籽j ？籽kS（？棕）Eg（t1）g（t2）e d？子1d？子2d？棕=

？籽j ？籽kS（？棕）d？棕（37）

式中：S（？棕）为地震激励g（t）的功率谱.

对于平稳响应，可令t1→∞，t2→∞，t1-t2→？子，则有：

ES2（t）=？籽j ？籽kS（？棕）d？棕（38）

根据式（34）—式（35），则有：

=++=+2（z1+i？棕a1）H2（？棕）（39）

式中：z1=a1？孜1？棕1-b1？棕1，H2（？棕）为标准二阶系统的频率响应特性函数，且有H2（？棕）=？棕-？棕2+2i？孜1？棕1？棕.

同理可得：

=-+=+2（z1-i？棕a1）2（？棕）（40）

式中：2（？棕）=？棕-？棕2-2i？孜l ？棕l ？棕.

由式（39）和式（40），可得：

？籽j ？籽k=

+2（z1-i？棕a1）2（？棕）+（z1-i？棕a1）H2（？棕）+

4（z+？棕2a）H2（？棕）=T1+T2+T3（41）

將T1和T2按标准二阶和标准一阶系统的频率响应特性函数的模平方H2j（？棕），H1j（？棕）进行恒等分解得：

T1=eH1j（？棕）+（？琢jH1j（？棕）+？琢kH1k（？棕））（42）

T2=4ekQ1rH1（？棕）+V1rH2（？棕）+W1r？棕2H2（？棕）（43）

式中：Q1r，V1r，W1r为代表参数多项式的常量，H1j（？棕）为标准一阶系统的频率响应特性函数性函数，且有H1j（？棕）=.

由式（41）—式（43），可得结构系统响应方差基于标准振子分解解析表达式为：

ES2（t）=eI1j +2（？琢jI1j+？琢kI1k）+4ekQ1kI1k+

4ek（V1kI21+W1kI22）+4（z+aI22）=D1+D2+D3+D4（44）

式中，I1j （？琢j）为一阶系列标准振子的位移响应方差；I21（？棕j，？孜j）和I22（？棕j，？孜j）分别为二阶系列标准振子的位移与速度响应方差；它们的表达式为：

I1j （？琢j）=H1j（？棕）S（？棕）d？棕（45）

I21（？棕1，？孜1）=H2（？棕）S（？棕）d？棕（46）

I22（？棕1，？孜1）=？棕2H2（？棕）S（？棕）d？棕（47）

式（44）的理论意义为：对任意的随机地震动激励g（t），耗能结构系统响应方差均严格满足以结构负实特征值与共轭复特征值参数为基础的一、二阶标准运动方程的一、二阶标准振子的响应方差的线性组合；D1+D2表示所有负实数特征根s（j=1，…，n）产生的总响应，用一阶振子的响应表示；D3+D4表示一对共轭复特征根s和s产生的总响应，用二阶振子的响应表示.

4.2.2 基于抗震规范的结构系统响应设计值

对耗能结构系统整体响应S（t）的设计值取值，即是求解结构响应的最大值Smax（t），设计值通常表示为响应S（t）的标准差？滓s和峰值系数Cf的乘积，即：

S（t）=CES2（t）=CD1+CD2+CD3+CD4（48）

式（48）说明若得到了各阶标准振子在地震动激励g（t）作用下的耗能结构系统整体响应方差，将其线性组合乘以峰值系数的平方便可得响应设计值的平方.令R1j（？琢j）=CI1j（？琢j），R21（？棕1，？孜1）=CI21（？棕1，？孜1），R22（？棕1，？孜1）=

CI22（？棕1，？孜1），则在式（44）中，分别用R1j（？琢j），R21（？棕1，？孜1），R22（？棕1，？孜1）取代I1j（？琢j），I21（？棕1，？孜1），I22（？棕1，？孜1），即可求得S（t），对其开方，即得结构响应设计值Smax（t）.

4.2.3 结构等效静态地震作用计算

一旦求得耗能结构系统基于抗震规范的结构响应设计值Smax，例如一旦求得结构最大位移响应Smax=

xmax，由此即可求得结构系统的等效静态地震作用力为：

FE=kxmax （49）

式中：xmax已由式（48）求得.

此外，由式（48）一旦求得结构最大速度响应Smax=max和阻尼器受力最大响应Smax=PQ（t）max，则单自由度粘弹性耗能整体系统基于抗震规范的响应设计值便建立完毕.

5 算例

5.1 算例1：頻率响应函数分析

5.1.1 结构系统频率响应函数解析式

对于图1所示的单自由度一般线性粘弹性阻尼器PQ（t）耗能减震系统，在地震激励f（t）=-mg作用下.

1）直接计算法

对于零初始条件，对式（1）和式（4）取傅氏变换，可直接获得结构位移和阻尼器的频率响应函数解析式分别为：

Hx（i？棕）=-（50）

HP（i？棕）=kQ+（i？棕）HQ（i？棕）Hx（i？棕） （51）

式中，HQ（i？棕）是hQ（t）的傅氏变换.

2）特征值法

由式（25）和式（29），结构位移和阻尼器的频率响应函数解析式分别为：

Hx（i？棕）=-（52）

HP（i？棕）=-（53）

5.1.2 验证算例

如图2所示单自由度设置五参数Maxwell阻尼器减震系统，结构的基本参数为：质量m=1 000 kg，刚度k=4×105 N/m，阻尼比？孜0按4种工况分别取？孜0=0.05，0.10，0.15和0.20.Maxwell阻尼器的基本参数为：平衡刚度kQ=1×105 N/m，阻尼器两分支单元的刚度，k1=7×104 N/m，k2=8×104 N/m；阻尼器两分支单元松弛时间的倒数？琢1=20 s-1，？琢2=10 s-1.

分别按直接计算法和特征值法计算结构位移和阻尼器受力频率响应函数，4种工况下，结构位移频率响应函数模Hx（i？棕）如图3所示，阻尼器受力频率响应函数模HP（i？棕）如图4所示，从图中可以看出，两种计算方法的结果完全相同，从而验证了本文计算方法的正确性.

5.2 算例2：随机地震响应分析

如图5所示单自由度阻尼器减震系统，结构参数为：质量m=1 000 kg；刚度k=4×105 N/m；阻尼比？孜0均匀变化，从0.05取到0.20，间隔为0.01.五参数Maxwell阻尼器参数为：平衡刚度kQ=1×105 N/m；阻尼器两分支单元松弛时间的倒数？琢1=20 s-1，？琢2=10 s-1；阻尼器两分支单元刚度按4种工况分别取为：k1=7×104，8×104，9×104，10×104；k2=8×104，9×104，10×104，11×104.地震动激励参数[22]取为：场地条件——软土；地震烈度I=8；地震动激励g（t）为Kanai-Tajimi平稳过滤白噪声，软土场地特征频率和阻尼比：？棕g=16.5 s-1，？孜g=0.8；地震动谱强度：S0=0.013 87 m2/s2.

当？孜0从0.05取到0.20（间隔为0.01）时，4种工况下分别采用标准振子分解法与相关函数计算法所得的结构位移、速度和阻尼器受力的方差如图6—图8所示.

由以上计算结果可以看出：

1）随着阻尼比的增大，结构系统整体响应方差均逐渐减小；

2） 工况数越大，结构位移与速度响应方差越小，阻尼器受力响应方差越大，也即：工况数越大减震效果越好，说明增加同等性能的阻尼器可以提高减震效果；

3） 采用标准振子分解法与相关函数直接积分法所得的结构系统整体响应方差完全一致，说明了标准振子分解法的正确性.（“*”表示采用相关函数积分法所得结果）

6 结论

1）耗能减震系统的时域瞬态响精确解物理意义明确，系统的整体瞬态响应归结于对耗能结构特征值和对应模态的分析；耗能结构系统整体响应可精确表示为结构各非正交模态的线性组合，能为频率依赖结构的精确振型分解反应谱设计法提供分析路径；

2）运用标准振子分解法，可将减震系统基于Kanni- Tajimi激励谱的结构位移、速度及阻尼器受力响应的方差解析式精确分解为一阶和二阶标准振子响应方差的线性组合，并据此方差响应建立了基于抗震规范的响应设计值，从而构件了此类耗能减震系统基于Kanni- Tajimi激励响应特性分析的一整套方法；

3）对于本算例，说明适当增加同等性能的阻尼器可以提高减震效果.

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Random response analysis of SDOF systems with viscoelastic damping

by using transfer functions method

LI Chuang-di， DING Hao， GE Xin-guang

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and

Technology， Liuzhou 545006， China ）

Abstract： In order to establish the accurate modal decomposition response spectrum method for the whole system of viscoelastic energy dissipation structure， the stochastic seismic response of a single degree of freedom system with general linear viscoelastic damper is studied systematically. The exact dynamic integral-differential response equations in original structural space for SDOF dissipation systems with general linear viscoelastic damper are established. Then， by using transfer functions method， the exact solutions in original structural for space displacement， velocity and damper force transient responses due to arbitrary exterior dynamic loading and initial conditions are obtained. Finally， by using standard oscillator decomposition method， the random stationary response variance of displacement， velocity and damper force velocity can be exactly decomposed of linear combinations for the first-order standard oscillator and the second-order standard oscillator. The correctness of the method is verified by the numerical example and a set of methods for the analysis of structural system based on Kanni-Tajimi excitation spectrum is established.

Key words： transfer function method； standard oscillator decomposition method； random response； exact solution；whole system of viscoelastic energy dissipation structure

（学科编辑：黎 娅）