胡方超　辛岩　张培昌　王振会

摘要双线偏振雷达探测小椭球粒子群时，雷达单发双收或交替发射。在粒子旋转轴呈某一取向时，要获得定义为RLD_vh或RLD_hv这个物理量，必须先建立Zvh及Zhv的雷达气象方程，并需重新定义相应的雷达反射率因子。本文推导出了能反演Zvh及Zhv的雷达气象方程，并模拟了具有Gamma谱分布的扁椭球粒子群在空间均匀取向时的LDR的变化情况。

关键词双线偏振雷达；LDR；雷达气象方程

当常规天气雷达探测降水粒子群，在满足瑞利散射条件时，经常采用ProbertJones（1962）推导出的小球形粒子群雷达气象方程（张培昌和刘传才，1998）。但对于较大的雨滴，Bringi and Chandrasekar（2001）给出确定线性退偏振比LDR（Linear Depolarization Ratio）的公式是RLD_vh=10log[ηvh/ηhh]，其中ηvh和ηhh分别是天气雷达发射水平偏振时由降水粒子群回波功率反演的交叉极化和共极化反射率，它们与雷达波长等有关。而我们希望LDR这个量仅仅反映降水粒子自身的形状、相态及轴取向特点等，这样才能用LDR这个量作为识别降水粒子性质的依据，这时可使用另一个RLD_vh或RLD_hv公式（Wakimoto and Bringi，1988）：

RLD_vh=10log[Zvh/Zhh]或RLD_hv=10log[Zhv/Zvv]。

另外，实际探测时在信号处理器中希望使用统一的雷达常数C，以适应对不同粒子形状的探测。RLD只有在确定Zvh、Zhh、Zhv、Zvv的具体函数表示式后才能实现，这就涉及到要重新推导出能从中确定Zvh与Zhh函数定义式的雷达气象方程，这就是本文所要研究的原因。为此，张培昌等（2013）推导出能反演Zhh、Zvv的雷达气象方程，故本文重点是推导出Zvh、Zhv的雷达气象方程，把其理论表达式用于模拟、反演以及获取接收双线偏振气象雷达的物理量LDR。

目前，新一代多普勒天气雷达及云雷达，都将采用或升级为双线偏振体制，在单发双收模式下，可获得LDR。因此，如何建立适用于接收双线偏振的、能获得符合LDR定义式的雷达气象方程，具有现实的理论意义和重要的应用价值（刘黎平等，1997；王致君，2002；崔丹等，2009；樊雅文等，2013；魏鸣等，2014）。本文采用高斯（Gans）的小椭球粒子散射理论（朗道和栗弗席兹，1963；张培昌和王振会，1995；张培昌等，2001；胡方超和王振会，2005；Wang et al.，2010）进行推导，主要针对在风较小时的一致铅直取向，及在风及湍流较大时的空间均匀随机取向这两种情况。

1理论推导

雷达天线发射波电场Ei不一定与椭球粒子中某一个轴平行，而从椭球散射回天线处的散射波当天线极化通道不变时，只能接收其中的平行偏振分量，故需要分别在天线和椭球上建立各自的直角坐标系oxyz及o′ξηζ，如图1中所示。其中ox轴恒在水平方向上，雷达发射波电场Ei恒在xoz平面内，Ei与x轴的夹角α为极化角，δ为天线仰角。

11雷达发射水平偏振波

11.1旋转轴取向在空间一致铅直

据文献（胡方超等，2013）可得

Ix=I‖=|g′|2；（1）

Iz=I⊥=0。 （2）

其中：Ix=I‖为在后向散射强度中的平行分量，Iy=Iz=I⊥为正交分量，g′是旋转椭球粒子在相等轴方向上的极化系数。（1）式表明，在后向散射强度中，只有平行分量Ix=I‖，而无正交分量I⊥。且后向散射平行分量与天线仰角δ的变化无关。因此，这时只能获得Zhh值，而Zvh值为零。即此时，不存在线性退偏振因子LDR。

112旋转轴在空间均匀无规取向（张培昌和刘传才，1998）

当入射偏振波投射在椭球质点上，根据Gans理论，得到椭球坐标系的偶极矩，再变换到天线坐标系，从而得到粒子散射回天线处的散射强度的两个分量Ix、Iz（张培昌和王振会，1995），具体详细推导见文献（张培昌等，2013）可得

Ix=15|g|2+43Re（g*g′）+83|g′|2；（3）

Iz=115|g-g′|2。（4）

式（3）中g*為g的共轭，g为椭球粒子旋转轴的极化系数，（g*g′）为g*和g′的乘积，Re（）对其取实部。这时回波有水平偏振分量Ix及垂直偏振分量Iz，要获得Zvh的表达式，首先要由Iz推导出相应的雷达气象方程。注意到（4）式中Iz是在发射水平偏振波及粒子旋转轴在空中作无规取向时获得的，故其就是发射水平偏振波后，接收机所同时收到的垂直偏振分量。后向散射能流密度Sy有

Sy=ck4P2z9πR2=ck4Iz9πR2。（5）

其中：Pz为粒子在z方向感生的电偶极矩；c是光速，k=2πλ，λ为雷达波长，R是椭球离雷达的距离。将（4）式及k的关系式代入上式后得：

Sy=2π3cλ4R2115|g-g′|2。（6）

由后向散射截面的定义（张培昌和刘传才，1998）有

σvh·S0=4πR2Sy。（7）

其中发射波的能流密度S0=c8π，将（6）式代入（7）式后可得：

σvh=6415π5λ4|g-g′|2。 （8）

雷达气象方程用雷达截面表示时为

Pvh=C*R2∫∞0σvhN（De）dDe。（9）

式中：C*=PthG2λ2θφ1 024（ln2）π2为表观雷达常数，以区别于常用统一的雷达常数C，其中Pt为雷达发射功率，h为脉冲长度，G为天线增益，λ为雷达波长，θ，φ分别是天线波束水平与垂直宽度，De是与椭球同体积的球体直径，称为椭球的等效直径，N（De）是单位体积内雨滴数随De的分布函数。将（8）式代入（9）式，雷达发射水平偏振波到空间旋转轴呈无规取向时的小椭球粒子上，接收其回波中垂直分量的雷达气象方程为：

Pvh=6415CR2m2+2m2-12∫∞0|g-g′|2N（De）dDe。 （10）

据（10）式可得此时的雷达反射率因子为：

Zvh=6415m2+2m2-12∫∞0|g-g′|2N（De）dDe。 （11）

12雷达发射垂直偏振波

121旋转轴在空间铅直一致取向

据文献（张培昌等，2013）有

Ix=I⊥=P2x=0， （12）

Iz=I‖=P2z=|（g-g′）cos2δ+g′|2。（13）

故这时回波中只有与垂直偏振波平行的分量Iz，而不存在正交偏振分量Ix。

上式表明，在后向散射强度中，只有平行分量Iz=I‖，而无正交分量I⊥。因此，这时只能获得Zvv值，而Zhv值为零。也即此时，不存在退偏振因子LDR。

122旋转轴在空间作均匀无规取向

据文献（张培昌等，2013）有

Ix=115|g-g′|2，（14）

Iz=15|g|2+415Re（g*g′）+815|g′|2。 （15）

这时回波中同时具有水平偏振分量Ix与垂直偏振分量Iz，注意到（14）式中Ix是在发射垂直偏振波及粒子旋转轴在空中作无规取向时获得的，故它就是发射垂直偏振波时接收到的水平偏振分量。因此与112中相同的推导后，就能获得Zhv的表达式：

Sy=2π3Cλ4R2115|g-g′|2， （16）

σhv=6415π5λ4|g-g′|2， （17）

Phv=6415CR2m2+2m2-12∫∞0|g-g′|2N（De）dDe， （18）

Zhv=6415m2+2m2-12∫∞0|g-g′|2N（De）dDe。 （19）

显然，σhv=σvh，Phv=Pvh，Zhv=Zvh，其原因是可以理解的。因为小椭球粒子旋转轴在空间作无规取向时，其后向散射的总体平均效果相当于球形粒子群的后向散射。其中单个雷达截面，σhv与σvh的值也是在方向余弦取各种取向的平均后求出的，故必然有上述结果，而且与雷达天线仰角无关。

2LDR的函数表示式

（1）对小椭球粒子群旋转轴在空间一致取向时，水平或垂直极化波入射时，天线接收到的散射只有共极化波，均没有交叉极化出现。故RLD不存在或者RLD=-∞。

（2）对小椭球粒子群旋转轴在空间作无规取向时，当雷达发射水平偏振波，根据文献（张培昌等，2013），有

Zhh=645m2+2m2-12∫∞0|g|2+43Re（g*g′）+83|g′|2N（De）dDe。 （20）

而Zvh已由（11）式给出。因此，据定义RLD_vh应为

RLD_vh=10logZvhZhh=

10log13∫∞0|g-g′|2N（De）dDe∫∞0|g|2+43Re（g*g′）+83|g′|2N（De）dDe。 （21）

与上类似，当发射垂直偏振波时，根据文献（张培昌等，2013），有Zvv，而Zhv已由（19）式给出。因此，据定义RLD_hv应为

RLD_hv=10logZhvZvv=10logZvhZhh=RLD_vh。（22）

3LDR模拟与分析

选择Gamma雨滴谱分布来模拟小椭球粒子群旋转轴取向在空间均匀分布时，公式（21）及（22）所表示的RLD。Gamma谱分布公式如：N（De）=N0Dμeexp[-（367+μ）De/D0]。式中：N0是滴谱的浓度，D0是滴谱的中值直径，μ是谱形参数（杨通晓等，2014）。

取特殊情况下，对单个粒子在不同轴比时RLD如图2所示，表明本文RLD公式所推导方法的正确（Bringi and Chandrasekar，2001）。

图2单个粒子RLD随椭球雨滴轴比的变化

Fig.2The change of RLD of a single elliptical particle with its axis ratio

圖2中表明单个粒子线性退偏振比RLD随轴比的增大而减小，轴比越小椭球形变越严重，轴比的增大使非球形减小，使公式（21）中极化系数的差逐渐减少，从而RLD减少。当轴比为1即球形时，此时没有极化系数的差异，也没有交叉极化的出现即RLD不存在或为-∞。

对于一般小椭球雨滴粒子群旋转轴取向空间均匀分布时，模拟RLD随着Gamma谱分布参数的变化情况。图3表明线性退偏振比RLD随雨滴谱谱型参数μ的变化情况，即在相同的中值直径与相同的雨滴数浓度的条件下RLD随谱型参数的增大而减小，当中值直径增大时RLD随谱型参数μ变化趋于变缓。这是由于同一D0、N0时，μ增大而粒子群中的大粒子数目减少，总体上雨滴的形变所引起的非球形对RLD的贡献减少所致的。图4是线性退偏振比RLD随中值直径D0的变化情况，由图可知随着雨滴或冰粒半径的增大线性退偏振比趋向稳定。但由于冰相粒子的复折射指数（m=178+0002 4i）要小于水相粒子的复折射指数（m=902+09i），其他条件不变时，图4中上面两条线表示雨滴的RLD要大于下面两条线计算得到的冰粒RLD。

利用文献（陈磊，2011）中Parsivel粒子谱仪实测的分雨强雨滴谱计算得到的RLD，如表1所示，参数γ为本文中的（367+μ）/D0，可以看出随着雨强的增大，RLD增大。这也是由于大量大粒子数目的增多（殷秀良和张培昌，2000），非球形增大的原因。

4结论

1）粒子群旋转轴一致铅垂取向时线性退偏振比RLD为-∞（或不存在）；而旋转轴取向在空间均匀取向时，垂直极化或水平极化时的线性退偏振比RLD_hv=RLD_vh是相同的。

2）粒子群的滴谱对线性退偏振比RLD有较大的影响，总体上RLD随雨滴的中值直径增大而增大，随着谱型参数μ的增加而减小。

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