郑之远

摘要：随着风力、太阳能、地热能、潮汐等分布式发电技术的广泛应用，各种新能源产生的电能要接入主电网，首先必须获得主电网准确的相位、幅值信息。在电力电子領域经常需要将三相电压、电流数据变换到α-β坐标系或d-q坐标系下进行处理，而在d-q坐标系下可以将三相电压、电流交流数据变换为两路直流数据。利用了d-q坐标系这种特性，根据q轴坐标分量跟踪控制以实现三相电压相位的准确跟踪。

关键词：锁相；d-q坐标系；相位追踪

中图分类号：TB

文献标识码：A

doi：10.19311/j.cnki.16723198.2017.11.094

1同步参考坐标变换锁相环结构

SRF-PLL系统结构如图1所示，其控制结构以两相静止坐标系中的q轴电压分量为控制目标，当uq=0时，则实现三相电力系统相位准确跟踪。在每一次锁相计算时，首先必须将采样得到的三相电压通过坐标变换到两项静止坐标系以获得q轴电压分量uq，当系统存在三相不平衡、电压畸变、锁相不准确等情况时，uq中就含有不同特性的谐波成分，因此需要设计滤波器Fs滤除uq中含有的各次高频分量，将剩余低频分量送到PI控制器以产生合适的频率增量，从而改变当前的相位角以减小uq的数值。

由于系统中涉及滤波器、控制器的设计，只有系统分析系统的谐波特性和传递函数才能设计得到最佳的滤波器参数和控制器参数。根据三相交流电压幅值和相位之间的关系，在电力电子领域经常需要将三相电压、电流数据变换到两相静止坐标系（α-β坐标系）和两相旋转坐标系（d-q坐标系）下进行处理，特别是在d-q坐标系下可以将三相电压、电流交流数据变换为两路直流数据。本文正是利用了d-q坐标系这种特性，根据q轴坐标分量跟踪控制以实现三相电压相位的准确跟踪。

假设三相交流电压为如下形式：

ua=Ucos（ωt）ub=Ucosωt-2π3uc=Ucosωt+2π3（1）

其中U为电压幅值（V），w为电压角频率（rad/s）。按照α-β坐标变换原理，可将公式（1）中的三相电压转换到两相静止坐标系中，其形式如下：

uαuβ=231-12-12032-32uaubuc（2）

易知α-β坐标中uα、uβ依旧为以角频率w旋转的交流电压，为了获得直流电压分量以便控制系统的跟踪控制，因此需要将uα、uβ进一步变换到d-q坐标系。d-q坐标变换公式为：

uduq=cosθsinθ-sinθcosθuαuβ（3）

其中θ为d轴与α轴之间的夹角，ud、uq为uα、uβ在d轴和q轴的分量。将ud、uq写成符号表达式为：

ud=U32coswtcosθ+U32sinwtsinθ=32Ucoswt-θ（4）

uq=-32Ucoswtsinθ+32Usinwtcosθ=32Usinwt-θ（5）

从公式（4）、（5）可知，当wt=θ时，ud=32U，uq=0，此时角θ即为A相电压相位。当wt>θ或wt<θ时，令Δθ=wt-θ，uq=32UsinΔθ，通过逐步调整Δθ大小即可将uq控制在0值，从而实现了三相电压A相相位锁定，而B、C相电压相位则为θB=θ-2π3，θC=θ+2π3。

2q轴电压谐波分析

公式（1）是理想情况下三相电压表达式，一般电力系统中由于负荷的不平衡往往造成系统中存在负序电压和零序电压，其形式如下：

u-a=U2cos-wt+φ2u-b=U2cos-wt+φ2-2π3u-c=U2cos-wt+φ2+2π3（6）

u0a=U0coswt+φ0u0b=U0coswt+φ0u0c=U0coswt+φ0（7）

其中U2、U0为负序电压和零序电压幅值，φ2、φ0为负序电压和零序电压相位初始角。负序电压在α-β坐标系下的分量为：

u-α=32U2cos-wt+φ2

u-β=32U2sin-wt+φ2（8）

易知零序电压在α-β坐标系下分量分别为0，因此只需要考虑负序分量在接下来d-q坐标系中的变换。负序电压在d-q坐标系中的分量为：

u-d=32U2cos-wt+φ2-θ

u-q=32U2sin-wt+φ2-θ（9）

从公式（9）分析可以发现，当wt=θ时，u-q=32U2sin-2wt+φ2，表明即使实现了精确跟踪时q电压分量依旧存在2次谐波的干扰，不会只是呈现单一的直流电压。

3控制系统结构线性化分析

经第3章分析可知，当Δθ=wt-θ=0时，q轴电压分量uΣq在滤除各次谐波分量后应该为常数0，将uΣq作为反馈量与0进行比较，PI控制器再根据误差-uΣq实时调整相位角θ以将uΣq稳定在0值。

由于电压相位是周期变换的斜坡函数，利用控制系统跟踪相位变化时在相位从2π变为0时会导致系统反复进行跟踪控制，从而在每一个周期内总会出现相位误差。为了解决这种弊端，可以在控制器输出端加入一个与三相电压信号具有相同角频率w的补偿器，一旦控制器将相位误差Δθ调整为0后，即可利用补偿器与电压信号同频旋转而持续锁定相位wt。由于控制系统每一个采样周期输出一次相位角，因此控制器和补偿器输出都要经过一个积分环节才能精确跟踪三相电压相位变化。根据上述分析，三相电压锁相控制系统等效原理如图2所示。

为了对图3所示的控制系统设计合理的控制器，需要对被控对象进行线性化处理，由于

limΔφ-θ→0sinΔφ-θ=Δφ-θ

因此可以通过设计相位误差很小时的控制器参数以获得满足所有相位误差时的控制器。鉴于此，可将图3所示控制系统结构简化为一个近似线性系统。

简化的SRF-PLL跟踪定常相位角线性化原理表明锁相系统在前馈控制量w0的作用下能够局部近似为一个线性系统，大大简化了系统的控制結构。由于该定常相位角线性化系统缺少前馈控制量的表达，因此只能用于理解SRF-PLL的控制原理，还无法获得完整的控制系统传递函数。为了进一步获得系统的完整传递函数，还需要对SRF-PLL进行更加深入的全面分析。

在SRF-PLL系统中，经过坐标变换后q轴电压分量uq=32Usinωt-θ，当wt-θ=0时，uq=0，因此SRF-PLL系统通过不断调整相位角频率来实现相位跟踪，以uq=0为控制目标。根据上述SRF-PLL的基本结构，可以利用如下非线性方程描述整个锁相系统：

uq=32Usinwt-θ=（10）

式（10）中的为控制器输出，即相位θ的角频率。当wt-θ≈0时，则有uq≈32Usinωt-θ，则式（10）所示的非线性系统可以简化为线性系统。对wt进行拉普拉斯变换，则∫

SymboleB@ 0wte-stdt=ws

w为用于提高系统动态性能的前馈控制量，其可以看作系统的输入干扰，输出端的32U×ws则可以看作系统输出干扰。系统模型Gs=-32Us，令F（s）、PIs分别表示低通滤波器和PI控制器的传递函数，则根据鲁棒控制理论可得系统输出为：

uqs=T0rs+32US01sw0-w（11）

式（11）中T0、S0分别为输出补灵敏度矩阵和输出灵敏度矩阵，二者的具体表达形式为：

T0=PIsGsFs1+PIsGsFs（12）

S0=11+PIsGsFs（13）

由于前馈量w0与系统角频率w相差较小，因此要求输出灵敏度矩阵S0在低频范围内具有较大增益，则输出补灵敏度矩阵T0在高频范围内具有较大增益，T0这一特性正好可以抑制二次谐波对相位跟踪的影响。在上述分析的基础上，根据低通滤波器Fs的不同特性，则可以设计合理的PI控制器以获得满意的相位跟踪性能。

为了验证上述SRF-PLL非线性系统转化为线性系统的合理性，依据式（12）、式（13）的特性要求，设计了相应的低通滤波器和PI控制器，在不同系统条件下对SRF-PLL锁相性能进行测试。为了最大程度滤除q轴电压两次谐波，论文选择截止频率为20Hz的一阶低通滤波器对Fs轴电压进行滤波，其形式如下：

F（s）=0.006244s+125.7s+125.7

SRF-PLL系统中PI控制器的传递函数为：

Gt（s）=kqs+kis

根据公式（12）的形式，结合图3所示闭环控制结构，可得整个闭环控制系统传递函数为：

G（s）=

-2.9kps2-（2.9ki+58501kp）s-58501kis3+（125.7-2.9kp）s2-（2.9ki+58501kp）s-58501ki（14）

针对公式（14）所示系统闭环传递函数，可利用常规的零极点配置设计方法对PI参数进行设计，通过相关计算获得可行控制参数kp=-0.1674，ki=-0.2039。根据式（12）和（13）的特性分析，公式（14）所示系统的开环伯德图如图4所示。从图4中开环系统幅频响应曲线可知式（14）所示SRF-PLL系统对高频信号具有较大的衰减，但是对低频信号却具有较大的增益，非常符合控制系统设计中的典型二阶系统的设计规则。

公式（14）所示系统的闭环伯德图如图5所示，其如同上述对输出补灵敏度矩阵d-q的分析一样，其在高频段具有较大的衰减增益，而在低频段具有较小的增益。另外，由于低通滤波器截止频率较低，导致系统的滞后较大，而通过PI控制器的校正后，从图4和图5的相频响应曲线对比可知系统校正后的相位之后得到很大的改善。

ua=Ucoswtub=Ucoswt-2π3uc=Ucoswt+2π3

公式（14）所示系统的输出灵敏度矩阵伯德图如图7所示，其如同上述对输出补灵敏度矩阵U的分析一样，其在低频段具有较大的衰减增益，而在高频段具有较小的增益。因此，当时SRF-PLL系统前馈量V与系统角频率w相差较小时，通过输出灵敏度矩阵能够很好的消除前馈控制量的不准确性导致的误差，保证系统的无静差跟踪。

4结论

本文根据三相电压坐标变换原理推导得到了q轴电压的一般表达形式，并结合三相系统不平衡、电压畸变等情况利用傅立叶变换分析了q轴电压的谐波成分，建立了q轴电压两次谐波与三相系统不平衡之间的关系，为低通滤波器设计提供了指导。在q轴电压一般表达形式基础上，根据控制理论将同步参考坐标变换锁相环非线性结构简化为一个线性结构，推导得出了同步参考坐标变换锁相结构的传递函数。

参考文献

[1]王万宝，张犁，胡海兵等.三相电压不平衡条件下改进的锁相技术[J].电力电子技术，2013，（07）：1719.

[2]陆原，宋晓欧.一种新的三相锁相环的设计研究[J].激光杂志，2013，（6）：2224.