摘要：根据自然数因子循环分布规律推导出奇质数个数计算公式，然后根据这个公式计算奇数正逆依序组合中奇质数组合任意偶数个数，以此证明哥德巴赫猜想。

关键词：奇数；奇质数；因子循环分布；奇数正逆组合；哥德巴赫猜想

背景：德国教师哥德巴赫于1742年6月7日提出。

1 自然数组成

自然数：大于0的整数如1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11……n，它是由奇数（单数）和偶数（双数）组成。奇数和偶数各占自然数集合的二分之一。

偶数：能被2整除的数，如2、4、6、8……也叫双数。

奇数：不能被2整除的数，如1、3、5、7、9、11……也叫单数。

质数：在大于1的整数中，只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11、13……也叫素数。

奇质数：只能被1和自身整除，不能被其它数整除的奇数叫奇质数，如3、5、7、11、13、17、19、23……奇质数和2构成质数集合。2是偶数中唯一的素数。5是特殊的奇质数，除5外，尾数含5的奇数都是合数。

合数：在大于1的整数中，除了能被1和自身整除外，还能被其它正整数整除的数。如4、6、8、9、10、12、14、15、21……

1是奇数中的特例，是所有整数组成的基础。

2 奇数中合数因子的分布

在连续自然数中，每两个连续自然数中就有一个可以被2整除，另一个则不能被2整除，一偶一奇无限循环下去，构成整个自然数集合。设自然数为N个，偶数个数和奇数个数各占1/2×N个。

连续的奇数也遵从这个规律。如在连续奇数1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31……中，每连续3个奇数就有一个能被3整除，即能被3整除的自然数占整个自然数奇数集合的1/3；

每连续5个奇数就有一个能被5整除，即能被5整除的自然数占整个自然数奇数集合的1/5；

每连续7个奇数就有一个能被7整除，即能被7整除的自然数占整个自然数奇数集合的1/7；

每连续9个奇数就有一个能被9整除，即能被9整除的自然数占整个自然数奇数集合的1/9，因为9是合数，是能被3整除的奇数，所以，凡能被9整除的奇数，也能被3整除。

每连续11个奇数就有一个能被11整除，即能被11整除的自然数占整个自然数奇数集合的1/11；

……

每连续n个奇数就有一个能被n整除，即能被n整除的自然数占整个自然数奇数集合的1/n（n为任意奇数因子）。

3 奇数中奇质数与合数的分离和排除

数的分离与排除：把不同类别的数分开，排除不需要的数，或计算各自所占的比例。如把奇数集合中的奇质数和合数分开，把合数排除出去，只保留奇质数。

根据合数因子的分布规律，可以建立自然数的分离与排除计算公式，把任意一段连续或所有连续奇数集合中的所有奇质数个数与合数个数分别计算出来。

设奇数个数为M个，如果只有一个奇质数因子a（a≥3）时，能被a整除的奇数个数占1/a，剩下的是不能被a整除的数个数为M×（1-1/a）+（k-1）=M×（a-1）/a+（k-1）；如果只有两个奇质数因子a和b（a≠b≥3，a、b互质），能被a和b整除的奇数个数占1/a+1/b-1/ab，剩下的是不能被a和b整除的数个数为M×（1-1/a-1/b+1/ab）+（k-1）=M×（ab-a-b+1）/ab+（k-1）=M×（a-1）（b-1）/ab+（k-1）=M×（a-1）/a×（b-1）/b+（k-1）；如果只有三个奇质数因子a、b和c（a≠b≠c≥3， a、b、c互质），能被a、b和c整除的奇数个数占1/a+1/b+1/c-1/ab-1/ac-1/bc+1/abc， 剩下的是不能被a、b和c整除的数个数为M×【1-（1/a+1/b+1/c-1/ab-1/ac-1/bc+1/abc）】+（k-1）=M×（1-1/a-1/b-1/c+1/ab+1/ac+1/bc-1/abc）+（k-1）=M×（abc-bc-ac-ab+a+b+c-1）/abc+（k-1）=M×（a-1）（b-1）（c-1）/abc+（k-1）=M×（a-1）/a×（b-1）/b×（c-1）/c+（k-1）；如果只有四个奇质数因子a、b、c和d（a≠b≠c≠d≥3， a、b、c、d互质），能被a、b、c和d整除的奇数个数占1/a+1/b+1/c+1/d-1/ab-1/ac―1/ad―1/bc-1/bd-1/cd+1/abc+1/abd+1/acd+1/bcd-1/abcd， 剩下的是不能被a、b、c和d整除的数个数为M×【1-（1/a+1/b+1/c+1/d-1/ab-1/ac―1/ad―1/bc-1/bd-1/cd+1/abc+1/abd+1/acd+1/bcd-1/abcd）】+（k-1）= M×（abcd-abc-abd-acd-bcd+ab+ac+ad+bc+bd+cd-a-b-c-d+1）/abcd+（k-1）=M×（a-1）（b-1）（c-1）（d-1）/abcd+（k-1）=M×（a-1）/a×（b-1）/b×（c-1）/c×（d-1）/d+（k-1）；……同理，如果有無数个奇质数因子时，必将遵循相同的规律。当因子有无限个时（因子都是奇质数，各因子互质不相等），则剩下的是不能被所有奇质数因子整除的数的个数，即所有奇质数个数为M×（a-1）/a×（b-1）/b×（c-1）/c×（d-1）/d……×（n-1）/n+（k-1），上面所说的因子a、b、c、d……n（n为无穷大奇质数因子），因子必须都是奇质数，合数不能作因子，因为当因子为合数时，所有的合数因子都已经被奇质数因子给分离排除了，合数因子不可能进行多余的分离与排除。上面的k为参加分离排除的奇质数个数，k-1中的1代表剩余奇质数中的1。

依照以上原则，因为自然数奇数集合是从1开始到无穷大的连续奇数，所以，因子要从小到大的顺序进行计算。设奇数总个数为M个，则奇质数个数为Y=M×2/3×4/5×6/7×10/11×12/13×16/17×18/19×22/23×28/29×30/31×36/37……（n-1）/n+（k-1）。n为无穷大奇质数因子，k为参加分离与排除的奇质数因子的个数。本计算公式可以计算从3开始到无穷大范围内的奇质数个数，也可以计算奇数集合中任意一段连续奇数中的奇质数个数。在计算过程中，最大奇质数因子的平方数一定要小于或等于所求奇数范围的最大奇数，如果大于这个范围，由这个因子构成的合数早已被小的奇质数因子分离排除了，这个大的奇质数因子并不参与排除。例如，1、3、5、7、9、11……49这个范围内，分离排除因子只有3、5、7，而大于7的 奇质数不能排除，如33已经被3排除了，11不可能有新的排除合数存在，在119范围内都是如此，只有到了121=112时，11才能加入分离与排除。例如100范围内有几个奇质数？奇数个数为100÷2=50，因为72=49为100以内最大奇质数因子平方数，所以，100以内的奇质数个数为50×2/3×4/5×6/7+（3-1）=22.86+2=24.86（个），实际24个；再如50以内奇质数个数为25×2/3×4/5×6/7+（3-1）=11.43+2=13.43（个），实际14个；200以内奇质数个数为100×2/3×4/5×6/7×10/11×12/13+（5-1）=38.36+4=42.36（个），实际45个。在实际计算过程中，总会有些误差，一是因为奇质数节奏和步调不一致，二是分离排除周期内总会有其它因子存在，因此形成奇质数分布的疏密度不均匀现象，但因误差很小，不影响正常计算和分析判断。

分离排除周期：3的分离排除周期是3个连续奇数；3和5的分离排除周期是3×5=15个连续奇数；3、5和7的分离排除周期是3×5×7=105个连续奇数……如有105个连续奇数，因子3、5和7的分离排除所占比例是固定不变的，但必会有其它因子含在其中进行分离与排除，如210以内有105个奇数，除3、5和7外，还有11和13加入其中进行分离排除，由此导致奇质数疏密不均。随着自然数不断增大，分离排除区间不断增大，则加入的其它奇质数因子会更多，这种情况会更加明显。

奇质数个数计算分析

根据以上公式可知，在相同范围内，2/3×4/5×6/7×10/11×12/13×16/17×……×（n-1）/n>2/3×4/5×6/7×8/9×10/11×12/13×14/15×……×（m-1）/m，n为范围内最大奇质数因子，m为范围内最大奇数因子，n≤m，n2和m2小于或等于范围内最大奇数。在2/3×4/5×6/7×8/9×10/11×12/13……×（m-1）/m中，当m→∞时，其值会越来越小，减少变化越来越平稳，但M×2/3×4/5×6/7×8/9×10/11×12/13……×（m-1）/m（M为范围内奇数个数）值会越来越大，所以，当n→∞，M×2/3×4/5×6/7×10/11×12/13×16/17×18/19×22/23×28/29×30/31×36/37……×（n-1）/n=Y之值越來越大，表明奇质数个数Y有∞多个。

以上是一种公式推导方式，还有一种推导方式，其结果是一样的。单数（奇数）集合1、3、5、7、9、11……中，不计1，从3开始即为3、5、7、9、11……因子分离排除过程，顺序是从小到大依序进行。因3为奇质数，所以，对奇数集合逐个进行整除，把凡能整除的拿走，即每隔3-1=2个奇数，就有一个可以被3整除，即能被3整除的自然数奇数占自然数奇数总量的？，剩下的不能被3整除的自然数奇数占自然数奇数集合的？；因5是奇质数，用5对剩下的自然数奇数进行整除，能被5整除的自然数奇数占剩下的自然数奇数占1/5，不能被5整除的自然数奇数占剩下的自然数奇数4/5；因7是奇质数，用7对剩下的自然数奇数进行整除，能被7整除的自然数奇数占剩下的自然数奇数1/7，不能被7整除的自然数奇数占剩下的自然数奇数6/7；因9是合数，已经被3分离排除了，则不能多分离排除剩下的自然数奇数，而后是11，因11是奇质数，用11对剩下的自然数奇数进行整除，能被11整除的自然数奇数占剩下的自然数奇数1/11，不能被11整除的自然数奇数占剩下的自然数奇数10/11，此后依序是13、17、19、23……，其分离排除过程与前面相同，而合数15、21、25、27、33、35……同9一样不能进行分离排除。根据这个原理推导出来的奇质数个数计算公式与前面所推导出来的计算公式是一样的。

分离排除区间： 指两个连续奇数因子平方数之差，如32至52之间，25-9=16；52至72之间，49-25=24；72至92之间，81-49=32；92-112之间，121-81=40……随着自然数的不断增大，分离排除区间也将不断增大。因子平方数为界限点。如92-112，数值靠近92时为下限（9为合数不参加分离排除），数值靠近112为上限，因各分离排除区间内的奇质数分布密度不同，一般可以用分离排除区间内的奇质数分布密度来了解奇质数密度变化规律。

素数分布规律分析：根据素数个数计算公式及各种数的分离与排除原理来看，素数的出现与分布并非是无规律和杂乱无章的，而是有规律和井井有条的，随着自然数和分离排除奇质数因子的→∞，这种有序分布和密度会越来越稳定。一方面这是因为奇质数因子在分离与排除的过程中，相互间互不干扰保持自己的独立节奏但又有公共交叉点，形成独特的网状结构，随着自然数和分离排除奇质数因子的→∞，这种有序的网状结构的规律性会越来越明显，但了解范围越来越大。另一方面形成这种独特的网状结构是因为连续自然数是等差数列，而分离排除是以等比数列进行的，形成密闭结构是不可能的。

4 用连续奇数正逆依序组合偶数进行分离与排除计算奇质数组合个数，证明哥德巴赫猜想第一定理

4.1 奇数正逆依序组合偶数结构图如下

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 …… n

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 …… n

n n-2 n-4 n-6 n-8 n-10 n-12 n-14 n-16 n-18 n-20 n-22 n-24….. 1

上式可以得出1+n=3+（n-2）=5+（n-4）=7+（n-6）=……=n+1=x（偶数），即B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 …… n之纵向相加之值均等于x偶数值，下面举例说明；如偶数30的奇数正逆依序组合结构图。

B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1

其中纵向各数相加均为30，即1+29=3+27=5+25=7+23=

9+21=11+19=13+17=15+15=17+13=19+11=21+9=23+7=25+5=27+3=29+1=30，其中以15+15=30为中间值。其它所有偶数都可以表示成上述这种形式。

4.2 连续奇数正逆依序组合偶数的上下层均为奇质数组合的分离排除计算法

由于不同奇质数因子的分离排除节奏步调不同，则互相都不干扰，以健康有序的节奏进行。因都是从同一个始点0出发进行分离排除，则不存在密不透风形式的密闭分离排除，必然始终有漏点存在。当自然数→∞，奇质数密度变得越来越稀少，但却越来越趋于恒定形式，但始终存在奇质数，同理，奇数正逆依序组合的上下层均为奇质数组合偶数的形式也遵从这一规律。

根据前面的奇质数与合数分离排除原理，顶层由左向右（由小到大）之顺序进行分离排除，底层则是由右向左（由小到大）的顺序进行分离排除，则最后剩下的必然都是由上下两层均为奇质数组合的偶数个数，分离排除掉的是：一是两个都是合数组合；二是一个是合数和另一个是奇质数的组合。

在上下两层组合中，一方面存在着共同因子组合（如上例3+27=30中，3是30的因子，而后形成的9+21和15+15等存在着共同因子3），3因子是30的基本因子；另一方面存在着非共同因子组合，如7+23，7不是23的因子，则永远不会出现7为共同因子现象。在分离排除计算过程中，有共同因子的组合，上下两层仅能分离排除1次（左右分离排除重合）；上下两层没有共同因子的组合，则上下两层分离排除2次（左右分离排除不重合）。所以，连续奇数正逆组合分离排除的计算公式为：L（奇质数组合的任意偶数个数）=（M-2）（M为奇数个数）×（3-a）/3×（5-b）/5 ×（7-c）/7 ×（11-d）/11 ×……×（n-m）/n ÷2+k， k为因分离排除掉的一方为因子，另一层也为奇质数的组合个数。因为2M-1为最大奇数，所以，n2≤2M-1，上式中的a、b、c、d….m均为1或2的数，n为最大奇质数因子，1为共同因子组合差，2为非共同因子组合差。举例说明：例一68的奇质数组合个数，奇数个数为68÷2=34（个），68=4×17，没有共同因子，所以，68的奇质数组合个数为L=（34-2）×1/3×3/5×5/7÷2+1=17×1/7+1=2.29+1=3.29（个），实际2个；128的奇质数组合个数，因128=27，所以没有共同因子，则奇质数组合个数L=（128÷2-2）×1/3×3/5×5/7×9/11÷2+0=3.62=3.62（个），实际3个；60的奇质数组合个数，因60=4×3×5，3和5是共同因子，7不是共同因子，所以60的奇质数因子组合个数L=（60÷2-2）×2/3×4/5×5/7÷2+1=6.33（个），实际6个。

4.3 连续奇数正逆组合偶数分离排除计算分析

完全都是由共同因子的组合是不存在的，而完全都是非共同因子的組合也是不存在的。

在相同范围内，（2/3）×（4/5） ×（6/7） ×（10/11） ×……（n-1）/n>（3-a）/3×（5-b）/5 ×（7-c）/7 ×（11-d）/11 ×……×（n-m）/n>（1/3）×（3/5） ×（5/7） ×（9/11） ×……×（n-2）/n>（1/3）×（3/5） ×（5/7） ×（7/9）×（9/11） ×……×（p-2）/p，式中a、b、c、d……m为1或2的差值数，n为范围内最大分离排除奇质数因子，p为范围内最大分离排除奇数因子，并且n≤p。上式中，假定用（1/3）×（3/5） ×（5/7） ×（7/9）×（9/11） ×……×（p-2）/p计算奇数正逆依序组合中的奇质数组合任意偶数个数，即L（奇质数组合任意偶数的个数）=（M-2）（奇数个数）×（1/3）×（3/5） ×（5/7） ×（7/9）×（9/11） ×……×（p-2）/p÷2+k，作为奇数正逆依序组合中的奇质数组合任意偶数个数的最低值来计算，当p→∞，L值由最初的1以很缓慢的波浪形式渐渐递增至∞，它只是无穷小量变化，由此可见，当L≥6时，任意偶数都存在奇质数组合。又因L（奇数组合中的奇质数组合任意偶数的个数）=（M-2）（奇数个数）×（3-a）/3×（5-b）/5 ×（7-c）/7 ×（11-d）/11 ×……×（n-m）/n÷2+k>（M-2）（奇数个数）×（1/3）×（3/5） ×（5/7） ×（7/9）×（9/11） ×……×（p-2）/p÷2+k，从计算结果来看，如6、8、12的奇质数组合个数都是1个，68的奇质数组合个数为2个，128的奇质数组合个数为3个……在这之后不会再出现1个，只能是越来越多，即奇数正逆组合偶数个数的取值范围是1≤L≤∞，计算值始终处在真值左右摆动。所以，哥德巴赫猜想第一定理成立。即任何大于6的偶数，都可以表示成两个奇质数相加形式。

若在正逆组合向减少方向变化，即还有一组为2，单一的2+2=4，即不小于4的偶数都可以表示成两个素数之和的形式。

在实际计算过程中，和计算奇质数个数一样，总会有些误差，是上下两层因为奇质数节奏步调和分离排除周期不一致引起，因误差很小，不影响正常计算和分析判断。目前，我也没有办法纠正误差。

5 哥德巴赫猜想第二定理的计算证明

根据哥德巴赫猜想①成立的原则，在各组合分别加上3，即形成4+3=7、6+3=9、8+3=11、10+3=13……，形成7、9、11、13、15、17、19、21……的所有奇数集合，因此哥德巴赫猜想②定理也成立。

6 孪生素数个数计算

根据奇质数个数计算公式推导原理，很容易推导出孪生素数个数计算公式：F（孪生素数个数）=M（奇数个数）×【1/3×3/5×5/7×9/11×11/13×……（n-2）/n】+k，式中n为范围内最大奇质数，k为参加分离排除奇质数因子个数，M（奇数个数）×1/3=D可以认为是孪生奇数个数，所以，上式可以写成F（孪生素数个数）=D×【3/5×5/7×9/11×11/13×……（n-2）/n】+k。

檢测计算如下：50以内孪生素数个数F=25×（1/3×3/5×5/7）=3.57+1=4.57，实际5个；100以内孪生素数个数F=50×（1/3×3/5×5/7）+1=8.14，实际7个；110以内孪生素数个数F=55×（1/3×3/5×5/7）+1=8.85个，实际9个；130以内孪生素数个数F=65×（1/3×3/5×5/7×9/11）+2=9.59个，实际9个；计算误差在所难免，原因和前面相同。如果用F=M×1/3×3/5×5/7×7/9×9/11×11/13×13/15×……（m-2）/m=M/m来计算，m为奇数，其F值随着m→∞而不断增大→∞，在范围相同时，F（孪生素数个数）=M（奇数个数）×1/3×3/5×5/7×9/11×11/13×……（n-2）/n+k>M×（1/3×3/5×5/7×7/9×9/11×11/13×13/15×……（m-2）/m，m为奇数，n≤m，这种计算可以证明，随着自然数值的不断增大，可以推断，孪生素数有无数个。在计算过程中，随着自然数不断增大，计算值围绕实际数值波动，但证明孪生素数个数没有问题。

以上公式或解题原理有可能对于解决黎曼猜想和白之与斯温那顿戴尔腻测有帮助。

7 其它一些素数个数计算

四胞胎素数个数：例如11、13和17、19就是一对。F（四胞胎素数个数）=【M（奇数个数）-6】×1/3×1/5×3/7×7/11×……n-4/n（n为最大奇质数因子）。四胞胎素数有无穷多个。

表兄弟素数：例如7和11就是一对。F（表兄弟素数个数）= 【M（奇数个数）-3】×1/3×3/5×5/7×9/11×……n-2/n+k（n为最大奇质数因子）。表兄弟素数有无穷多个。

六素数：例如5和11就是一对。F（六素数个数）=【M（奇数个数）-4】×2/3×3/5×5/7×9/11×……n-2/n+k（n为最大奇质数因子）。六素数有无穷多个。

三胞胎素数：例如5、7和11就是一对。F（三胞胎素数个数）= 【M（奇数个数）-4】×2/3×2/5×4/7×8/11×……n-3/n+k（n为最大奇质数因子）。三胞胎素数有无穷多个。

作者姓名：段贵军，（1966.11-），工作单位：林业局，营林工程师，中专学历。