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从印度乘法口诀想到的数学教育问题

2017-05-17鄢青云张弦

科教导刊·电子版 2017年9期
关键词:易懂直观创新

鄢青云+张弦

摘 要 从印度乘法口诀的教育中得到启发,再结合本人从教三十多年的经历,觉得简化数学教育,对于非数学专业的学生来说,是当务之急,他们没必要花大量的时间用在“为什么”上,而是需要懂得“怎么用”“如何用”。

关键词 创新 简易 直观 易懂

中图分类号:G623.5 文献标识码:A

一个偶然,看到关于印度人教乘法的方法,大概的意思是:1919以内的乘法问题,可以分解为四步走。举个例子,问:1716=?,为了算出它的结果,第一步:17+6=23;第二步:2310=230;第三步:7+6=13;第四步:230+13=243,这就是最终结果。表面上,一个乘法问题分解为四步做变复杂了,实际上,它是把高级运算转化为低级运算,而人类擅长的是低级运算,从而使人们可以进行口算。这种方法的使用,不仅可以口算1919以内的乘法,而且可以推广。比如:1234=?

从上面的图示读者不难看出,1234=408,这样的运算很神奇。再比如:9897=?

显然,9897=9506,这两个乘法问题都渗透了加减运算,为什么可以将乘法转化为加、减法来做?它是有数学上的理论依据的,它的依据就是巧妙地利用公式(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,尽可能地将乘法问题转化为加、减法,从而达到口算的目的。

其实,数学上有许多趣题,不用传统的数学方法,而是将它回归到生活中,用一种解说的方式找到正确答案。比如:“鸡兔同笼”问题,说的是在一个笼子里住着100只兔子和鸡,告诉你共有320条腿,问兔子有多少只?鸡有多少只?这个数学问题,用方程来解,可以解出结果,但是有点繁琐。有种方法直接、简单,而且还很生活。其解题思路是从上往下思索,100个头下都是4条腿的一定是兔子,这样应该有400条腿,而事实上,只有320条腿,多算了400-320=80条腿,这多出来的80条腿,是把鸡当成兔子来算,这时我们就要卸掉2条腿,每卸一次,就把兔子转化为鸡,卸几次,就有几只鸡,于是,鸡有802=40只,兔子有100-40=60只。

上述解说,读者可能认为有道理,也算是简易解法了。没有最好,只有更好,同样的问题,不同的思路,决定着解题的难易程度。还是上面的“鸡兔同笼”问题,我们来个从下往上思索,看效果如何?想像一下,你面前站着100只鸡和兔子,你手上拿着一把神奇的刀,砍下去对动物没有生命威胁,这时,你对每只动物砍掉两条腿,鸡全部趴下了,而兔子依然还可以站着(4条腿的兔子拿掉2条腿,还有2条腿撑着),于是,兔子有:(320-2100)2=60只,鸡有100-60=40只。

印度人在进行小学生乘法口诀的教育上,应用的是初中才能学到的乘法运算法则,而他高明的地方就在于,抛弃理论,并将理论直接转化为方法。而我国小学生的乘法口诀定格在九九乘法表上,竖式、进位求乘法,虽然一本万利,但严重阻碍了学生的计算能力,这种教育上的差距不是一般的大呀。

再来看看极限概念的定义,纯数学理论习惯于用“€%^-€%]”语言来描述,但对于大部分非数学专业的学生来说,他们不需要知道“为什么?”,他们需要的是如何方便快捷地“怎么用?”。印度人教乘法的方法值得我们借鉴。实际上,数学上的许多知识,我们是可以做些转换的。

“极限”的概念”语言晦涩难懂,对某个函数来说,如果当自变量变化的时候,因变量呈现“无限逼近某一个常数”的特征,那么我们就说该函数存在极限。这种形象化的语言,学生更容易接受,如果再配上图形,效果更佳。

显然,由图1知: arctanx=,arctanx=,arctanx不存在;而圖2显示,当自变量x→∞时,函数→0,于是有=0,这样借助图形理解极限概念,简单直观得多。当然,计算极限值,我们有一整套的理论体系,总结起来,大体有五条路可行:第一条路,f(x)=f(x0),这条路有两个缺陷,一是x必须趋近于某个实数x0;二是x0必须是f(x)定义域里的点,假如不是,进入第二条路:x0代入到f(x)中,造成分母为0,这时就看分子,分子的结果不外乎两种情形0或非0,为了叙述方便起见,我把它记着型或(A≠0)型,对于型,可用洛必达法则、无穷小的等价代换等方法,而(A≠0)型的结果只有一个,那就是无穷大。第三条路是专门针对x→∞的情形,当x→∞时前两条路都行不通。这时使用洛必达法则是很有效的,或者尽可能制造(€%Z>0),再配合极限的四则运算法则来完成,效果奇佳。第四条路使用公式:(1+)x=e或(1+x)=e,该公式的特点是底与指数都是关于x的表达式。第五条路依据“有界函数与无穷小的积是无穷小”,此法不需要解题过程直接写出结果,如:x2cos=0,计算极限问题,有了这五条路做为行动方向,纷繁复杂的极限问题变得明朗了许多。我想,这就是教育工作者常应思索的问题。

数学有许多定理,死记硬背不可取,理解的基础上记忆,效果好。如果再渗入方式方法的应用,那将是根深蒂固的。在刻画曲线凹凸问题时,有个判断定理:设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有一阶和二阶导数,则若在(a,b)内y''>0,则曲线y=f(x)在[a,b]上的图形是凹的;若在(a,b)内y''<0,则曲线y=f(x)在[a,b]上的图形是凸的。文字很长,看下面两图的嘴型,便一目了然。

两张脸谱,就能表达一个数学定理的核心思想,我就在想,我们可以进行大胆创新,将几千年的数学文化变得直观、简易、好懂。与时俱进,共同创造高效、有趣的生活。让数学更接地气,让人们不再觉得数学高不可攀。

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