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数学教学中孕育符号思想探微

2017-05-17卢伟玲

数学教学通讯·小学版 2017年4期
关键词:数学模型符号思想

卢伟玲

摘 要:孕育数学的符号思想,向学生培养和渗透数学符号意识,培养学生的符号感是数学教学的应有之义。数学符号对简化事实表达、促进学生思考、建立数学模型等具有重要的意义和价值。实践中,通过符号理解、符号表达和符号运用,能够让学生形成初步的符号感,激活学生的符号思维。

关键词:数学教学;符号思想

《数学课程标准(2011年版)》明确指出,“发展学生的符号意识是数学教学的基本任务”。符号意识主要体现为“能够从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,并能够用符号表示;能够理解符号所代表的数量关系和变化规律,选择合适方法解决符号所表达的问题”。不难看出,课程标准中对“符号意识”表达要义有三:其一,符号表达能力;其二,符号理解能力;其三,符号应用能力。本文结合笔者对新课标的学习以及自身教学实践,试探如何培养学生的符号意识,如何在教学中孕育数学符号思想。

■一、符号思想的孕育价值

符号是一种抽象的、形式化的数学语言,数学符号具有简洁美、抽象美与统一美。人们在进行数学计算、逻辑推理与判断的过程中,通常要借助数学符号。可见,符号是一种交流的工具。在数学教学中孕育数学的符号思想具有如下价值。

(一)简化表达

数学事实的表达方法很多,可以借助文字、图像以及符号。例如对于加法结合律的表达,用文字就很烦琐:三个数相加,先将前两个数相加,再加上第三个数;或者先将后两个数相加,再加上第一个数;而用符号表达就是“(a+b)+c=a+(b+c)”。再如六年级学习正反比例,用文字表达很复杂,因为要阐述自变量和因变量之间的动态变化、相互依存关系。而用符号表达就很简洁“■=k(一定)”以及“xy=k(一定)”。无怪乎著名数学家欧拉说,“数学是科学的皇后”。

(二)促进思考

数学符号能够导引学生的思维,助推学生展开数学思考。以“符号”为载体,能够有效地表征问题,简化学生思考流程。例如摆一个正方形需要4根火柴棒,摆两个正方形需要7根火柴棒……摆10个正方形需要多少根火柴棒?100根火柴棒能够摆成几个正方形?学生在操作中需要将小正方形的个数n与火柴棒的根数之间的规律找出来,并用抽象化、形式化的符号进行表示:“火柴棒根数=3n+1”,学生能够感受并体验到数学符号的概括性、简约性。某种意义上,数学符号能够加快、促进学生的思维运转。如在本题中,学生可以借助倒推的策略,对符号表达的式子进行变形,顺利地算出100根火柴棒可以摆成多少个正方形。

(三)建立模型

数学模型是对数学规律、本质的概括,是运用数学语言表示的一种结构。数学符号能够帮助学生建构数学模型。数学模型往往蕴含着深刻的数学思想。例如,对于行程问题,我们可以根据速度、时间和路程之间的关系,建立这样的数学模型:s=vt。对于三角形、平行四边形以及梯形的面积,可以用这样的符号进行概括:S=■(其中,a=0时为三角形,a=b时为平行四边形)。毫无疑问,数学学习只有落实到模型层面,才能称得上是一种真正的数学学习。所以东北师范大学史宁中教授坚持认为,真正的数学思想有三:抽象、概括与模型。

■二、符号思想的孕育策略

在学生的数学学习中,教师要相机渗透数学的符号化思想,孕育数学的符号化思想,让数学的符号在数学教学中生根发芽、枝繁叶茂、开花结果。要培养学生对符号的敏锐感觉,增进学生对符号的敏感度,引导学生有意识地从符号中捕捉到诸多的数学信息。引领学生经历符号诞生、生长、应用的全过程。

(一)符号理解

数学教学中,教师要引领学生理解数学符号所表示的意义、价值和关系。要结合学生的生活经验、学习经验,经历数学符号从“具体事物”到“个性表示”再到“数学表示”的形式化过程。

例如一年级教学“>”“<”和“=”,为了让学生理解符号的意义,教师可以这样展开教学。首先出示一些排列整齐的两类物体,让两类物体一一对应,其中一类物体与另一类物体一样多,引出上下两条横线,一条横线表示一类物体,另一条横线表示另一类物体,两条横线一样长就表示物体的个数一样多。如此,“=”就不仅仅是一种形式化的符号,对儿童来说更具有了实质性的意义,它被深深植入学生的心中。再如教学“>”和“<”,同样采用对应教学法,让学生理解含义。不仅如此,教学中要让学生用自己的语言说:谁的个数多,谁的个数少,启发他们学会用自己的符号表示物体的多少,并初步学会用“>”“<”等符号表示数的大小。为了让孩子形象地记住“>”“<”,可以在开口处放两个圆圈,在尖口处放一个圆圈,增强学生印象,让学生理解“开口朝大数,尖嘴向小数”。以“符号”为载体,能够有效提升儿童的数学学习素养。

(二)符号表达

我们生活在一个符号的世界里,借助于数学符号,可以提炼数、表征数量之间的关系,显化数量关系,变“看不见”为“看得见”,将复杂的数量关系变得简单。每一个数学符号都蕴藏着丰富的现实意义,教学中教师应当充分发掘数学符号所蕴含的内涵,鼓励学生运用数学符号简约地表达数学的概念、关系。东北师范大学史宁中教授认为,“符号意识是学习者在感知、认识和运用数学符号方面所做出的一种主动性反应,是一种积极的心理倾向”。因此,教师要让学生从日常的文字语言表达逐步过渡到数学的符号语言表达。

例如教学《分数的初步认识》(苏教版小学数学教材第6册),在孩子们理解了一半的含义后,笔者延长符号的诞生历程。让学生用自己的方式表示“一半”,于是有孩子用“日”表示,有孩子用“■”表示,有孩子用“朋”表示……当笔者出示标准化的符号“■”表示时,学生并没有体验到这种符号表示的科学性、优越性。于是,笔者让学生表示“十分之一”“百分之一”,学生认识到了這种表示方法的简洁性、普适性。再如教学《用字母表示数》(苏教版小学数学教材第9册),对于数字和字母、字母和字母相乘,教师不仅要引领学生学会符号表达,更需要学生在符号表达之间进行转换。如4×b(乘号式)、4b(省略式)、4·b(点乘式)、b2(乘方式)等。像这样,学习用不同的方式进行符号表达对于学生今后学习负指数、分数指数以及根号、同底数幂相乘等都有着积极的作用。

在小学数学教学中,教师不能直接将符号“传授”“告诉”学生,而应当在直观的、具体的情境中学会用字母表达数、数量关系以及运算定律,在符号表达中培养学生的符号思维能力。要培养学生的符号联想能力,有意识地让学生用自己创造的符号来表征题意。

(三)符号运用

在数学教学中,教师应当引导学生运用符号表示已知条件与未知条件之间的关系。要提升学生运用数学符号分析问题、解决问题的能力,进而将培养学生的符号意识、孕育学生符号思想的教学要求落实到实处。

例如著名特级教师吴正宪教学《搭配的学问》,两件上衣,三件下装(裤子、裙子、短裤各一件)进行搭配,一共有多少种不同的着装方法?教师首先引导学生动手操作,通过一一搭配,有学生用文字表达,有学生用图形表达,有学生用符号表达。

生1:我用一件上衣配一条裤子,又用一件上衣配一条裙子,再用一件上衣配一条短裤。(说着说着,这位学生渐渐说乱了)

生2:我是用一件上衣分别配裤子、裙子、短裤,形成了3中搭配方式,又用另一件上衣分别搭配裙子、裤子、短裤等。因此,一共有6种搭配方法。

生3:我是用画图的方法表示的。(说着学生呈现了线段搭配图)

师:这位同学用图表示搭配的方式,已经简便多了。

生4:我用1和2表示上衣,用A,B,C分别表示裙子、裤子和短裤。因此,可以搭配成A1,A2,B1,B2,C1,C2,一共有6种搭配方式。

師:同学们觉得他的表示方法怎样?

生5:简洁、明了,而且不容易遗漏和重复……

学生在解决问题的过程中逐步经历了符号化的过程。教学中,教师引导学生用符号的眼光打量具体的数量关系,用符号化的头脑思考数量关系,提高学生用符号解决问题的能力。适当的时候可以引导学生建构数学模型。例如对于n个人相互寄贺卡,有学生运用数学符号建立了这样的数学模型:贺卡总数=n(n-1);对于n个人相互打电话,有学生运用数学符号建立了这样的数学模型:通话总次数=■。数学模型简洁而有效地表征了“寄贺卡”和“打电话”内蕴的数量关系,并且有助于表征、比较这两种日常行为之间的数学关系。

英国著名思想家、数理学家罗素先生曾经这样说:“什么是数学?数学就是符号加逻辑。”数学中处处有符号,数学离不开符号。因此,孕育数学符号思想、渗透数学符号意识,培养学生初步学会用符号进行表达、用符号进行数学交流,用符号解决数学问题就成为数学教学的应有之义。教学中,教师要积极探索、开拓培养学生符号意识,形成学生符号感的现实路径。

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