陈佩树，马松林，彭维才

(巢湖学院 应用数学学院，巢湖 安徽 238000)

基于问题驱动的方向导数性质探讨

陈佩树，马松林，彭维才

(巢湖学院 应用数学学院，巢湖 安徽 238000)

方向导数是多元函数微分学中一个重要概念，首先给出方向导数定义，接着以问题驱动方式对方向导数性质进行剖析和探讨，深入分析方向导数与偏导数、可微、梯度、沿给定方向单调性等有关概念之间的关系。

问题驱动; 方向导数; 偏导数; 可微

0 引 言

方向导数既属于高等数学基本理论知识，[1-2]也是许多理工类专业必不可少的一个重要应用工具。方向导数是多元函数微分学的一个重要概念，其本质上是研究函数在某点处沿某一指定方向的变化率问题，是偏导数知识的拓展，在研究函数局部性质和解决许多实际应用问题中都有着重要作用。

1 方向导数定义

2 问题驱动式探讨方向导数性质

问题1 若函数f在点P0的沿任一方向的方向导数都存在，能否说明f在点P0偏导数存在？能否说明f在点P0可微？

仔细剖析方向导数的定义会发现： 即使是沿x轴正向、 负向两个方向导数分别存在，但无法确定其数值一定相等，所以依然可能偏导数不存在,也无法确保函数f在点P0可微。[3]

例1 函数f(x,y,z)=(x2+y2+z2)1/2在点(0,0,0)有

从而可知f(x,y,z)=(x2+y2+z2)1/2在点(0,0,0)关于x的偏导数不存在，同理可知在点(0,0,0)关于y或z的偏导数也不存在，故函数在点(0,0,0)也不可微。

问题2 若函数f在点P0的偏导数存在，能否断定f在点P0的方向导数也存在？

从偏导数定义出发，可以知道关于x轴的偏导数存在，仅能确保沿x轴正、负两个方向的方向导数分别存在，无法确定沿任一给定方向的方向导数也存在。……