韩婵　张彦　马婷

摘 要：非标准分析法理论的研究直接或间接的影响着其他学科的发展。为了说明非标准分析方法的科学价值，首先简述了非标准分析产生的背景和发展现状；其次研究了非标准分析在图论、拓扑学、概率论、物理学、经济学中的若干应用。所得到结论为今后利用非标准分析的方法研究其他相关学科奠定了一定的基础。最后，希望非标准分析对其他学科产生更深远的影响。

关键词：非标准分析；图论；拓扑空间 ；概率论；物理学

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）13-0013-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.13.005

一、 非标准分析概述

牛顿与 Leibnizi在创建微积分时，虚构了无穷小数及无穷大数。他们打破常规的想法，推动了数学的发展。 但是，那时对无穷小的解释相当含糊，因此一些数学家不信任无穷小量这种方法。许多学者认为：无穷小缺乏必要的理论基础。后来，柯西等终于寻找到“？着-？啄方法”，回避了无穷小，解决了微积分的内在的根本的矛盾，也显示了有限和无限的关系，但此方法仍有瑕疵，因为传统的阿基米德域R是容纳不了无穷小数，所以必须想办法将数学从阿基米德的性质中解放出来，数学才会有更长远的发展。经过学者们不断地探索，1960年罗宾逊发现：模型论中的一些成果和分析学中的无穷小数有着内在的联系，因此他将实数域扩张为超实数域，从而建立了一门新的学科——非标准分析，使300年来一直被大家争论的无穷小数问题得到了解决，进而为微积分奠定了一定的理论基础。……