☉江苏省苏州第十中学校 项冠炜

谈谈已知递推式求通项破解之道

☉江苏省苏州第十中学校 项冠炜

高考数学是具有选拔功能的考试，要求考生在熟练掌握基础知识的前提下，具备一定的数学思维和数学思想.要想做到这点，就要求学生对高中数学各类型题的固定解法熟记于心，针对这个要求，就要求我们老师对各类型题的解法加以归纳总结.通过对各类型题的总结，不同的形式使用不同的解题方法，进而分析各个解法之间的区别与联系，可以有效地提高学生的数学思维.

数列是高中数学学习中的重点内容，同时也是高考中必须要考查的基础模块之一.在解题过程中，选择使用不同的方法、转换思想将会导致截然不同的求解方向，运算量和难易程度也有明显的区别.在保证一道题目可以解出的前提下，选择用最佳的方法可以有效地提高同学们的解题效率，在考试的时候，多为其他题争取一些时间.

下面本文将对数列中已知递推式求通项问题的各种类型进行归纳总结.

类型一、an+1=an+f（n）

解题思想：把原递推公式转化为an+1-an=f（n），利用累加法（逐差相加法）求解.

分别令n=1，2，3，…，（n-1），代入上式得（n-1）个等式累加之，即（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）

注意：（1）an+1和an的系数一定要相同，最好都是1.（2）在累加的时候，最后一个式子应该写成an-an-1（n≥2），不要写成an+1-an.（3）在累加后，求f（n）的和时，要根据f（n）本身的特点来选用合适的求和方法，当f（n）为普通等差数列时，选择使用等差数列求和公式；当f（n）为普通等比数列时，选择使用等比数列求和公式；当f（n）为等差与等比数列之和时，选择使用分组求和的方法；当f（n）为等差与等比数列之积时，选择使用错位相减的求和方法；当f（n）为分式时，比如此题，选择使用裂项相消的求和方法.

类型二、an+1=f（n）an

类型三、an+1=pan+q（其中p，q均为常数，pq（p-1）≠0）

解题思想（待定系数法）：把原递推公式转化为an+1+ k=p（an+k），其中，再利用换元法转化为等比数列求解.

例3已知数列｛an｝中，a1=1，an+1=2an+3，求an.

解：设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2（an-t），即an+1=2an-t⇒t=-3.故递推公式为an+1+3=2（an+3）.令bn=an+ 3，则b1=a1+3=4，且所以｛b｝n是以b1=4为首项，2为公比的等比数列，则bn=4×2n-1=2n+1.所以an=2n+1-3.

注意：（1）此种方法为待定系数法的第一个类型，也是其他待定系数法的基础，需要熟练掌握（.2）an+1和an的系数一定要不相同，如果相同的话就选择累加法（.3）此方法的关键是根据固定的解法算式an+1+k=p（an+k）来构造出一个新的等比数列，利用新的等比数列通项来求原来数列的通项.

类型四、an+1=pan+qn（其中p，q均为常数，pq（p-1）（q-1）≠0）

解题思想：一般地，要先在原递推公式两边同时除以qn+1，得，引入辅助数列｛得，再用待定系数法解决.

注意：（1）此种方法为待定系数法的第二个类型，在第一个待定系数法的基础上，多了一步变化.（2）an+1和an的系数一定要不相同，如果相同的话就选择累加法.（3）此方法的关键是根据给出条件的特点，在等式的左右两端同时除以q的最大脚标次方，本题的最大脚标是n+1，所以同时除以qn+1，而如果此题条件换成，则应该除以qn（.4）最后利用待定系数法来解出最后答案.

类型五、递推公式为an+2=pan+1+qan（其中p，q均为常数）

注意：（1）此种方法为待定系数法的第三个类型，前两种是两项之间的递推关系，此类题是三项之间的递推关系.

（2）在用完待定系数法之后，会由三项递推关系转换成两项递推关系，之后就要观察数列的类型，看选择哪种方法.

类型六、递推公式为Sn与an的关系式（或Sn= f（an））

（1）求an+1与an的关系；

（2）求通项公式an.

（2）应用类型4（an+1=pan+qn（其中p，q均为常数，（pq（p-1）（q-1）≠0）））的方法，上式两边同时乘以2n+1，得2n+1an+1=2nan+2.

注意：

（1）使用此方法一定要注意n的取值范围为n≥2.

（2）如果最后不是a2与a1之间的关系，还需要进一步验证a2与a1是否符合条件，如果不符合，则此数列为分段数列.

以上笔者总结了数列中已知递推式求通项的多种解法，希望同学们可以熟练掌握.在数学复习课中选练此类题目时，要注意总结分类，这不失为一种好的学习方法.