☉江苏省海安县曲塘中学 周 强

一类圆锥曲线综合题的教材探源

☉江苏省海安县曲塘中学 周 强

教材是我们学习的主要内容，也是高考命题的重要载体，很多高考试题或模拟试题从命题形式或解答方法上，都能找到其教材根源所在.下面以一类圆锥曲线综合题的求解为例说明，以期抛砖引玉.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设A，B是椭圆C的左，右顶点，P为椭圆上异于A、B的一点，以原点O为端点分别作与直线AP和BP平行的射线，交椭圆C于M、N两点，求证：△OMN的面积为定值.

一、常规解答

（2）设点P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）.

①M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴同侧，如图1，不妨设x1＞0，x2＜0，y1＞0，y2＞0.

图1

图2

②M（x1，y）1，N（x2，y2）在x轴异侧，如图2，方法同①.

综合①②，△OMN的面积为定值■2.

评注：本解法充分运用了平面几何的几何性质，以及处理解析几何问题的核心思想，即坐标法的应用.

二、课本探源

评注：结合点A的轨迹方程，不难发现B、C即为椭圆的左、右顶点，进而引发我们探究椭圆上的点与两个顶点连线的斜率之积为定值.

三、探究问题的一般性

四、问题另解

五、拓展探究

类似的结论还可以拓展到双曲线.

探究2：设A、B的坐标分别为（-a，0）、（a，0）（或（0，-a）、（0，a））.直线AM、BM相交于M，且它们的斜率之积是

图3

（1）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2=1；

0-4，所以k1·k2=1.即y20=x2

（2）设直线AB的方程为y=k（x+2），A（x1，y1），B（x2， y2）.

由（1）知，k1·k2=1，则直线CD的方程为同理可得所以

综上，在教学时对教材中的典型例题或习题进行拓展研究，可以发散学生思维、提升解题能力.F