用整体思想巧算代数式的值
2017-05-11钱霞
钱霞
用整体思想巧算代数式的值
钱霞
整体思想就是在研究和解决有关数学问题时,通过把握研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,对问题进行整体处理的思想方法.从整体上去认识问题,思考问题,常常能化繁为简,变难为易,同时又能培养大家思维的灵活性、敏捷性.整体思想在“整式乘法与因式分解”这一章中的主要体现形式有:整体代入、整体加减、整体代换等,下面我们就一起来看看吧.
例1已知xy2=-1,求-xy(x3y7-3x2y5-y)的值.
【分析】本题根据条件显然无法求出x、y的值,只能考虑在所求代数式中构造出xy2的形式.
解:
当xy2=-1时,
【说明】本题在处理单项式与多项式相乘的时候,也可以将-xy看成一个单项式,用-xy与多项式的每一个项相乘,再把所得的积相加.
A.7B.11C.9D.1
【分析】本题根据条件虽然是可以求出m的值,但代入求值时非常麻烦.那么我们就想到了将看成一个整体.利用完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,则
例3若a、b满足(a+b)(a+b-2)+1=0,则a+b=.
【分析】本题可以考虑求出a、b的值,再代入计算a+b的值,但是我们发现只有一个方程,却有两个未知数,所以这里的a、b无法求出.经观察,我们发现此处可以将a+b看成整体,转化后等号的左边正好是完全平方式.
解:将(a+b)看成整体,原方程可化为:
【说明】本题的处理结果正好是完全平方公式,所以可以求出a+b的值.大家可以思考,如果等号的左边不是完全平方式,你将怎样求出a+b的值,思考好后,试着完成下面的变式训练:若a-b=1,则求a2-b2-2b的值.
【分析】本题中由a-b=1,不能求得a、b的值,那么观察所要求的代数式a2-b2-2b,可以变形为(a+b)(a-b)-2b=a+b-2b=a-b=1.
解:
【说明】本题是整体代入,在无法求出a和b的值的情况下,应处理所求的代数式,利用平方差公式将其变形出a-b这一整体;本题也可以将a=b+1代入,即原式=(b+1)2-b2-2b=b2+ 2b+1-b2-2b=1.
例5已知a+b=7,ab=6,求a2b+ab2的值.
【分析】本题首先想到的是根据a+b=7,ab=6,求出a、b的值,再代入代数式中求得结果;但是经过分析可将a2b+ab2因式分解为ab·(a+b),再将ab=6,a+b=7整体代入可以使问题的解决更简单.
解:原式=ab(a+b),
当ab=6,a+b=7时,原式=42.
【说明】先将代数式因式分解,再通过整体代入是一种求代数式值的常用方法.
例6将下列各式因式分解:
(1)(x2+1)2-10(x2+1)+25;
(2)16(x+4)2-9;
(3)a(a2-b2)-b(b2-a2).
【分析】重温一下概念,因式分解:把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解.而因式分解首先要考虑的是提公因式,其次考虑套用公式,最后要检查因式分解是否彻底.对于(1)无公因式可提,将x2+1看成整体可先套用完全平方公式,之后再套用平方差公式;(2)无公因式可提,将(x+4)看成整体可套用平方差公式;(3)将其后面的因式b2-a2提取负号后可变为-(a2-b2),再提取公因式a2-b2,接着套用平方差公式.
解:(1)
(2)原式
(3)原式
【说明】因式分解的步骤是:一提、二套、三查.我们解决因式分解的题型首先考虑的是提公因式,然后才考虑套用公式,并且一定要检查最后的结果是否已经分解彻底.
整体思想在代数式的化简与求值、解方程、几何解证方面都有广泛的应用,整体代入、整体运算、整体设元等都是整体思想方法在解数学问题中的具体应用,在以后的学习中大家要注意积累.
(作者单位:江苏省淮安外国语学校)