抛物线中的平行四边形存在性问题是中考中常考题型，其解决办法的突破口在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数又快又准确，然后再画图，最后通过计算解决问题。如果已知三个定点，则平行四边形的第四个顶点有三种情况，以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点。如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按边或对角线分为两种情况，然后利用平行四边形的性质找到相等关系而解决问题。下面通过几道中考例题具体说明抛物线中的平行四边形存在性的解题策略。

一、已知三个定点，一个动点，探究平行四边形的存在性

例1.已知抛物线[y=-ax2+2ax+b]与x轴的一个交点为A（-1，0），与y轴的正半轴交于点C。

（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标。

（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式。

（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）对称轴是直线：x=1，点B的坐标是（3，0）。

（2）[y=-33x2+233x+3]。

（3）存在。理由：连接AC、BC，设点M的坐标为M（x，y）

①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB，AB=4

∴|x|=4，[y=OC=3]。

∴点M的坐标为[M4，3]或[-4，3]。

②当以AB为对角线时，点M在x轴下方过M作MN⊥AB于N，则∠MNB=∠AOC=90°

∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC=MB，且AC∥MB

∴∠CAO=∠MBN，∴△AOC≌△BNM，∴BN=AO=1，[MN=CO=3]

∵OB=3，∴ON=3-1=2，∴点M的坐标为[M2，-3]

综上所述，[M14，3]，[M2-4，3]，[M32，-3]

点評：本题已知三个定点坐标的具体数值，如果没有规定由三点构成的三条线段中哪条为边或对角线，则三种情况都必须考虑。

二、两个定点、两个动点，探究平行四边形的存在性

例2.抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点。

（1）求该抛物线的表达式。

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标。

解：（1）抛物线的表达式为[y=13x2-23x-1]。

（2）①当AB为边时，只要PQ//AB，且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为4或-4，这时，将合条件的点P有两个，分别记为P1，P2。此时[P14，53]，P2（-4，7）。

②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，又知点Q在y轴上，且线段AB中点的横坐标为1，∴点P的横坐标为2，符合条件的点P只有一个，记为P3，此时P3（2，-1）综上所述，[P14，53]，P2（-4，7），P3（2，-1）。

点评：本题已知两个定点坐标的具体数值，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况，利用平行四边形的性质找到相等关系而解决问题。

例3.已知：如图，关于x的抛物线[y=ax2+x+ca≠0]与x轴交于点A（-2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C。

（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标。

（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式。

（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q，是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？

解：（1）抛物线解析式为[y=-14x2+x+3]，顶点坐标是（2，4）。

（2）点D坐标为（4，3），直线AD的解析式为[y=12x+1]。

（3）直线[y=12x+1]与抛物线对称轴x=2的交点坐标为M（2，2）。

假设x轴上动点Q（m，0），以A、M、Q顶点的平行四边形的第四个顶点坐标。

若以MQ为对角线，则P1（m+4，2），代入[y=-14x2+x+3]得[m=-2±22]。

若以AM为对角线，则P2（-m，2），代入[y=-14x2+x+3]得[m=-2±22]。

若以AQ为对角线，则P3（m-4，-2），代入[y=-14x2+x+3]得[m=6±26]。

综上所述：[Q122-2，0]，[Q2-22-2，0]，[Q36-26，0]，[Q46+26，0]。

点评：先假设一个动点的坐标，将其看成一个定点，按照平移的性质，写出第四个顶点的坐标，再由另一动点应满足的条件，求出相应的坐标。

因此，我们在日常的教学活动中，要加强对新课程的研究，渗透新课程的理念，按照新课程的要求及时渗透数形结合的思想、几何变换的思想，引导学生从不同的角度思考问题，这样才能从教材简单的例、习题中获得解决问题的新方法、新思想，才能引导学生重视教材，同时培养学生探索的能力和创新的意识。

作者简介：

娄霖林（1980—），男，汉族，湖北潜江人，本科，二级教师，初中数学教师。