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以趣促学正弦定理

2017-05-06远丽晓

速读·下旬 2017年3期
关键词:外接圆锐角三角钝角

远丽晓

新课程理念指出:兴趣是最好的老师。我认为数学兴趣是推动学生积极学习数学的一种巨大动力。有了学习数学的兴趣,学生在学习中就能产生很大的积极性,从而产生强烈的学习需求,最终体验到学习的乐趣。在新课标高中数学必修五第一章的正弦定理的学习中,先提出现实问题来引起学生的学习兴趣,进而引入课堂知识。

一、情景假设,引入课题

在河岸一边有一棵树,在河岸另一边也有一棵树,给予量角及皮尺,考虑如何在不过河的情况下测得两棵树之间的距离?那么在这个问题中可以构造三角形来求解。

三角形是最简单的平面图形,同学们从初中就开始研究三角形,会求面积,周长,证明三角形全等及相似,知道三角形的分类以及直角三角形满足勾股定理。在必修四中利用直角三角形学习了锐角三角函数。小小图形中隐藏了无限的宝藏,这节课我们继续踏上刺激的寻宝之旅,去寻找一般三角形中边、角关系的准确量化关系——正弦定理。

二、温故知新,提出猜想

如图,在[Rt?ABC]中,角C为直角,角A,B,C的对边分别为a,b,c。

由锐角三角函数的定义,可以写出[sinA=ac],[sinB=bc],[sinC=cc=1。]各个式子中都含有相同边c,那么可以把式子拓展为[asinA=bsinB=csinC。]

这是我们要寻的宝藏吗?此式仅仅适用于直角三角形,还是适用于所有三角形?可见寻宝之旅才刚拉开帷幕。

三、抽丝剥茧,水落石出

如图,当[ΔABC]为锐角三角形时,我们可以通过作三角形的高来

构造直角三角形,作AC边高BD,在[RtΔBCD]中,[BD=asinC],在[RtΔABD]中,[BD=csinA],于是有[asinC=csinA],写成比例式为[asinA=csinC。]同理,作BC边的高,可以得到[bsinB=csinC。]由此可得,在锐角三角形中,总有[asinA=bsinB=csinC。]

在此,我们运用转化的思想,将锐角三角形中的问题,转化到直角三角形中去解决。所以,当[ΔABC]为钝角三角形时,我们也可以通过作三角形的高來构造直角三角形,进而得到在钝角三角形中[asinA=bsinB=csinC]也成立。

在教与学的关系上,古人强调教必有趣,以趣促学,而现代教学理念更加强调培养学生的学习兴趣来提高学习的自觉性。那么有了正弦定理,课堂开始的问题也就迎仞解决,在河岸边随便选取一点,使其与两棵树构成三角形,用皮尺量出此点与同一侧树之间的距离,再用量角器量出同侧两个角,利用正弦定理来求出两棵树之间的距离即可。

对于正弦定理的推导,方法并不唯一。三角形中蕴藏的宝藏远远超出我们的想象。利用几何法进行推导,需要引入三角形外接圆及其半径,从而证明[asinA=bsinB=csinC=2R。]

如图,当[ΔABC]为锐角时,角A,B,C对边分别为a,b,c。通过作AB边高CH,可以得到[asinA=bsinB],作三角形另外两条高,可以得到式子[asinA=bsinB=csinC]成立。此时,作三角形外接圆,过B作圆直径BD,即[BD=2R。]在圆中,根据等弧对等角,[∠ACB=∠ADB],在[Rt?BAD]中,[BD=ABsin∠ABD=csin∠ACB],整理即为[csinC=BD=2R],同理,过A作直径可以证得[bsinB=2R],过C作直径可以证得[csinC=2R。]所以,在锐角三角形中总有[asinA=bsinB=csinC=2R。]

对于直角三角形,作三角形外接圆,直径就是三角形斜边,很容易得到[asinA=bsinB=csinC=2R。]成立

如图,在钝角三角形ABC中,过A作外接圆直径AD,则[∠ADC=180°-∠ABC],在[Rt?ACD]中,[2R=AD=ACsin∠ADC=bsin(180°-∠ABC)=bsin∠ABC],即[bsinB=2R],同理也可以证得[asinA=2R],[csinC=2R。]所以在钝角三角形中[asinA=bsinB=csinC=2R]也成立。

综上可见,在一般三角形中,总有[asinA=bsinB=csinC=2R。]

四、巩固训练,深化提高

我们把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。由正弦定理和三角形内角和定理,我们可以解决两种解三角形的问题:

1.已知任意两角及一边;

2.已知任意两边及其中一边对角。

例1:在[?ABC]中,已知[A=45°],[B=60°],[c=4],解这个三角形。

解:由三角形内角和定理得

[C=180°-A+B=180°-45°+60°=75°]

由正弦定理[asinA=bsinB=csinC]得

[a=csinAsinC=4sin45°sin75°=4sin45°sin30°+45°=4*2212*22+32*22=43-4]

[b=csinBsinC=4sin60°sin75°=4sin60°sin30°+45°=4*3212*22+32*22=62-26]

例2:在[?ABC]中,[a=3],[b=6],[A=23π]求B。

解:由正弦定理[asinA=bsinB],得

[3sin23π=6sinB],得[sinB=22]

因为[a>b],所以[B=π4。]

兴趣是人们活动强有力的动机之一,它能调动起人的生命力,使大家对于自己热衷的事情乐此不疲。将正弦定理的学习过程视为寻宝的旅途,最终得到钻石级别的宝藏——正弦定理,原来任意三角形的各边和它们所对角的正弦值的比是相等的,而且这个宝藏还能帮助我们解三角形。

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