左俊梅 谢锐彬

[摘 要]演化博弈理论的应用从细胞动力学到社会进化尤其在生物学中得到了深远的发展。多人博弈理论可以引入到先行已经建立起博弈理论的任何领域。文章回顾了多人演化博弈理论及其应用发展的历史过程，介绍该理论的发展现状，旨在给出无限种群中类似于有限群体中的理论性的结论，并且讨论多人博弈理论在生态、社会科学、人口遗传领域中的成功应用。在文章末尾，文章探索了多人博弈理论复杂性应用值得深入研究的一个特定方向。

[关键词]非线性性；同质总体；随机效应

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2017.12.149

1 引 言

博弈理论的根源可以追溯到Babylonian Talmud，但是运用博弈理论进行的第一个数学证明是由Zermelo进行的围棋博弈，传统观点把演化博弈理论的起源归因于Morgernstern和Von Neumann，他们出版了第一部有启发性的关于博弈理论的文章。但是大多数博弈论仅限于双人博弈，正如纳什所说，它事实上应该包括多人博弈的部分。演化概念已经在20世纪80年代推广到多人博弈的理论中。

2 从成对竞争到社会间相互作用

在过去的十年间，人们见证了博弈理论中有限种群动力学结论的蓬勃发展，这极大地拓宽了博弈论的研究范围，得出了很多优美而简洁的结论。类似地，在博弈理论中考虑非线性性也能拓展出一个新的研究方向。因此，我们列出了在演化博弈理论中处理由多人博弈所产生的非线性作用时得出的结论，这些结论将有可能去证明传统的双人博弈无法解决的新的动力学问题。

2.1 复制动态

复制者方程让不同的策略在种群中出现的频数去决定该策略的适应性，而不是将每种策略都设置为一个固定的常数。在无限种群中，采取自下而上的方法来建立复制者方程，考虑两种策略A和B。两种策略出现的频率分别用x和1-x表示，两种策略的相互作用用一个矩阵来表示。

这个支付矩阵表明，当一个A策略个体与另一个A策略个体相互博弈时，它得到的支付是a1，当它与B策略个体博弈时得到a0，从这个支付矩阵我们能计算出两种策略的平均支付，πA=a1x+a0（1-x）， πB=b1x+b0（1-x）。

我们可以把平均支付直接看作两种策略的适应性，分别记作fA=πA， fB=πB，根据传统筛选思想，如果某种策略的适应性比种群的平均适应性大，则该策略胜出并且取代另一种策略。

双人博弈的可能结果与三人两种策略博弈的结果

因为双人博弈中fA-fB的斜率是线性的，可能的结果中至多有一个内部均衡点，这个均衡点可能稳定也可能不稳定。增加博弈人数增加了动态方程的復杂性，此时选择斜率为非线性。以三人博弈为例，动态方程为二项式，因此能包含至多两个内部均衡点，这些均衡点可能稳定也可能不稳定。

这些概念可以用关于x的微分方程来表示，即

因此，演化博弈通过策略的适应性被引入到动力学中，这个方程有三个可能解，A策略消失即x=0，或者B策略消失即x=1，最后如果两种策略有相同的适应性，即fA=fB，则x*=[SX（]b0-a0[]a1-a0-b1+b0[SX）]。

对于一般的多人博弈，情况比较复杂，因此我们从最简单的三人博弈开始，依然只有上面介绍过的A、B两种策略。两种策略出现的频率分别用x和1-x表示，两种策略的相互作用用一个矩阵来表示。

焦点个体用行表示，因为是三人博弈，所以另外两个个体用列表示，它们可能为AA、AB、BA、BB，我们假设与AB博弈和与BA博弈结果是相同的。两种策略的平均支付是关于频数的二元函数。

跟前面的方法一样，我们可以得到如下复制方程：

这个方程除了在边界存在这两个根之外，还可能存在其他根，我们可以把这种分析推广到任意数量d个博弈者中，那么在这种情况下，除了x=0， x=1这两个根之外，还可能存在d-1个根。对于两个策略的博弈，跟踪一个策略的频数就能得到动态过程的全部信息。对于n策略的博弈，我们需要知道n-1个变量的时间演化过程。因此，对于一个有d个博弈者n种策略的博弈，动态过程在n-1维空间上进行。因为在每个维度上内部均衡点可能有d-1个，所以总共至多会有（d-1）n-1个不同的内部均衡点。

2.2 从无限种群到有限种群

复制者动态描述了在无限大种群中策略频数的动态变化过程，显然，这是一种近似。众所周知，对有限种群的研究有能力去挑战在无限种群中得到的结论。早期，运用哲学原理，Thomas 和Pohley证明了传统ESS理论在研究有限种群时的不足。在研究小的有限种群时，传统的ESS概念既不是刻画演化稳定的充分条件也不是必要条件。自此，演化博弈中的有限种群分析得到了迅速的发展。

3 多人合作博弈的应用

基于其一般性，复制者方程容纳了广阔的生物学背景，从生态到种族遗传，从生命起源到社会演化，因此变成了行为生态学家、种族遗产学家、社会学家、哲学家广为使用的工具。从生态学到社会学逐渐发展成门类繁多的学科。

4 讨 论

演化博弈理论的发展可能是因为博弈理论及其应用之间的良性循环，我们仅仅接触了演化博弈理论的三个应用，但是博弈理论作为研究工具的必要性很有可能会开辟新的研究方向。例如，在生态学中，种群数量的演化依然是一个开放性课题，这个课题可以用演化博弈理论近似处理。另一个有意思的研究方向是关于变异，通常人们所说的变异是发生在现存的物种中，完全新奇的变异很难发现。在特定的条件下，这样的变异也能在种群里长期存在，研究多个突变体在动态演化过程中如何达到平衡将会是一个非常有意义的研究方向。

参考文献：

Fisher RA.The Genetical Theory of Natural Selection[M].Oxford：Clarendon Press，1930.

[基金项目]周口师范学院校本项目（项目编号：zknuB1201601）；河南省高等学校重点科研项目（项目编号：17A110039）。

[作者简介]左俊梅（1986—），女，汉族，河南周口人，研究生学历，周口师范学院数学与统计学院讲师。研究方向：数学教育、博弈论。