刘喜梅+林爱华

摘 要：针对油公司资产组合问题，构造可以定量求解的投资组合模型是当前研究的热点和难点。假设当资产收益服从正态分布时，推导出了基于二次效用函数下的最优投资组合模型，并应用拉格朗日乘子法推导出模型最优解的数学表达式，最后结合油公司的实际数据定量地解决了油公司的资产组合问题。研究结果表明，基于二次效用函数下的最优投资组合模型可以有效地解决资产组合问题，为二次效用函数在资产管理中的应用进行了有意义的探索研究。

关键词：二次效用函数；资产组合；拉格朗日乘子

中图分类号：F83

文献标识码：A

doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2017.08.052

1 问题提出

现代资产组合理论是一个精细的组合管理的方法。均值-方差方法是由Markowitz最早提出的，并且成为现代组合理论的基础部分。均值-方差模型就是考虑在收益一定的情况，使风险达到最小的条件极值问题。

投资组合基本应用到股票市场。曹宪章剖析了动态投资组合策略应用在我国股市的可行性。孙翎等以沪深300成分股数据为样本，利用谱分析为投资组合策略研究提供一种新颖的研究思路。本文将组合模型应用到油公司中，分析资产或项目的最优组合问题。

文献研究了关于负指数效用函数模型，为了研究二次效用函数，提出了基于二次效用函数下的最优组合模型。为了解决油公司的资产组合问题，应用二次效用函数和拉格朗日乘子到油公司的资源管理中。首先介绍了效用函数一些理论知识；其次当资产收益服从正态分布时，推导出了二次效用函数下的最优投资组合模型，然后运用拉格朗日乘子法求解使得其期望效用最大化的最优投资比例的函数表达式。研究结果可解决海油公司的定量化问题。

2 效用函数理论

2.1 效用函数

在现实生活中，效用函数通常满足以下性质：

由表1中数据可知，所选的三个资产的收益率均服从正态分布。

三个资产的平均收益率见表2。

4.2 结果分析

当b取不同的值时，根据式（4）得最优投资比例及期望值如表3所示。

由表3的数据（第5列和第6列），可以得到风险随收益变化图（见图2）。

从表3及图2可以看出：

在二次效用函数下，收益-风险的有效边界类似开口向上的右半根抛物线。且风险随收益的增加而增大，这正体现了高收益总是伴随高风险的金融学原理。说明二次效用和均值-方差模型下的最优策略是等效的。所以，我们可以应用二次效用最大来解决各类投资组合选择问题的均值-方差模型。

由表3的数据（第2列、第3列、第4列和第7列），可以得到资产最优分配比例及期望值随风险厌恶系数的变化图（见图3）。

由于b是投资者的风险厌恶系数，b增加相当于投资者期望风险减少，即期望收益越大。从表3及图3可以看出：

（1）资产1的投资比例是b的减函数，即随着b值的增加而减少，主要由于资产1的收益最大。說明当投资者对风险规避要求减小时，收益大的资产的投资比例可能减少。

（2）资产2的投资比例为负值，主要由于资产2的风险太大，需要卖出资产2以减少风险。

（3）资产3的投资比例是b的增函数，即随着b值的增加而增加，主要由于资3的收益最小。说明收益小的资产的投资比例可能随着要求减小而增加。

（4）期望值是b的减函数，即随着b值的增加而减少。说明期望值可能随着要求减小而减少。

模型与投资者期望风险越小越好和收益越大越好的心态相符。说明构建的模型和应用拉氏乘子法求解的最优组合投资比例是有效的。

5 结束语

在油公司的投资管理中，通过数学推导并且建立基于二次效用函数下的最优投资组合模型，应用拉格朗日乘子法推导出模型的数值解。结合油公司的实际数据表明，对于风险厌恶型投资者来说，构建的二次效用函数模型和应用拉格朗日乘子法求解的最优解是有效的，也说明二次效用和均值-方差模型下的最优策略是等效的。我们可以用二次效用最大来解决均值-方差模型。研究结果表明，基于二次效用函数下的最优投资组合模型可以有效地解决资产组合问题，研究了二次效用函数在资产管理中的应用；同时模型更加科学地、有针对性地设立目标函数，以满足投资者。

参考文献

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