■湖北襄阳五中高三(27)奥理班 吴一希

编者的话：在学习的过程中,你一定会遇到许多问题,也需要解决这些问题,而在解决问题的过程中,如果能深入一些、细致一些,就会有新的发现,把你的发现写出来就是一篇论文。希望同学们在学习过程中善于发现和总结,同时也希望同学们把论文寄给我们。电子信箱:xuexifaxian@126.com。

解三角形是高中数学的基本点之一,它经常与三角函数、平面向量等综合考查。在解三角形的过程中,正弦定理和余弦定理是最常用的两个定理,本文就来谈谈正、余弦定理在解三角形中的应用。

最近老师在复习《圆锥曲线》中,专门进行了《如何求参数的范围》的专题学习。平时学习中面对求参数范围这类问题时,不少同学往往感到困难重重,不知如何下手。如果我们能挖掘题目条件,寻找适当的不等关系,从而建立关于参数的不等式(组),问题就迎刃而解。下面通过几则很有说服力的例子研究求参数范围的几种途径。

途径一：应用判别式建立不等关系

已知抛物线y2=2px(p＞0)上存在两个不同的点关于直线x+y=1对称,如图1,求实数p的取值范围。

图1

解：设该抛物线上关于直线x+y=1对称的两点分别为P(x1,y1)、Q(x2,y2),则依题设,直线PQ的方程为y=x+b,联立方程得⇒y2-2py+2pb=0,即y1,y2是该方程的两个不同的根,Δ=4p2-8pb＞0。

故p-2b＞0。①

感悟:若题设中给出直线(或曲线)与曲线有公共点或无公共点时,可以把直线方程(或曲线方程)与曲线方程联立起来,消去某一个未知数,得到所含另一个未知数的一元二次方程,就能利用判别式建立起所含参数的不等式。

途径二：根据曲线的范围建立不等关系

设椭圆=1(a＞b＞0)的两焦点为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使=0,求椭圆的离心率e的取值范围。

依据题意,P点在椭圆上,但不在x轴上,故0≤＜a2。

于是0≤2c2-a2＜c2⇒＜1。故e∈

感悟:圆锥曲线上点的横纵坐标是有界的,通过研究横、纵坐标的有界性,就可以找到变量间的不等关系。

途径三：挖掘曲线的隐含的不等关系

设F1,F2分别是椭圆=1(a＞b＞0)的左,右焦点,若在其右准线l:x上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆的离心率的取值范围是( )。

图2

解法1：如图2所示,设P,t∈R,F1(-c,0),F2(c,0),则依题意有|F1F2|=|PF2|,得2c= ,化简整理得:t2=,由t2≥0得2c2-b2≥0,即2c2≥a2-c2。

解法2：如图2,设右准线与x轴交点为H,则|PF2|≥|HF2|。又因为|F1F2|=|PF|,所以|FF|≥|HF|,即2c≥-c⇒3c2≥a2,故e2≥。

由上知答案为D。

感悟:一些特殊曲线,它们自身包含了一些不等关系。如椭圆长轴长大于短轴长,也大于焦距长,双曲线的实轴、虚轴长小于焦距长。一些点位于曲线内部或外部时,满足一定的不等关系。当然在有些情况下,不等关系比较隐蔽,只有认真地分析题设中的条件与结论,才能找到需要的含参不等式。