◇黄慧章

几何直观是《数学课程标准（2011）》提出的十个核心概念之一。《数学课程标准（2011）》指出：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果；可以帮助学生直观地理解数学。”笔者将以“队列表演（一）”一课为例，谈谈如何借助点子图帮助学生理解算理，让算理看得见，让思维过程说得清。

一、解读教材，理解几何直观的作用

“队列表演（一）”是北师大版教材三年级下册第三单元“乘法”中的第二课时，主要是学习两位数乘两位数的乘法，重点是学习横式笔算的计算方法，难点是如何理解横式笔算的算理。教材创设了“队列表演”情境，提出了三个问题逐步引导学生探究计算两位数乘两位数的过程与方法。第一个问题是借助点子图探究14×12的直观运算，并用横式记录计算的过程与结果；第二个问题是理解用点子图的乘法运算与用列表的乘法运算之间的联系与区别；第三个问题是鼓励学生选择自己喜欢的方式，进一步熟悉两位数乘两位数的计算方法。

教材为何用这么大的篇幅让学生利用点子图研究两位数乘两位数的计算方法？这样处理究竟对学生理解算理有什么帮助？认真研读教材，我发现点子图在这里的使用就是充分借助几何直观，帮助学生理解两位数乘两位数的乘法的意义和算理，探索其计算方法。

点子图（点阵）是一种计算模型，相对于情境中的实物模型来说，点子图形式简单，具有概括性和抽象性，方便学生动手操作，可通过圈一圈、画一画完成学习任务，有助于学生理解乘法意义和算理，因此，点子图是一个有价值的模型。

二、分析学情，了解几何直观的基础

学生的学习基础是什么呢？一是学生已经学过两位数乘一位数的乘法，能用学习过的表内乘法、整十数乘一位数的乘法和加法获得结果。二是学生接触过点子图。二年级学习过乘法的意义和乘法口诀，能借助点子图直观理解累加和递进的意义；三年级上学期学习过两位数乘一位数的竖式计算，能借助点子图理解乘法竖式中每一步的含义，积累了运用点子图进行计算的经验。

因此，本节课的教学，要立足学生的“数学现实”，鼓励学生主动运用点子图进行计算，解释计算的道理，促进学生对算理的理解，体验算法的多样化，从而培养其几何直观能力。

三、立足现实，促进几何直观的运用

基于对教材、学情的分析和对几何直观的理解，我将本节课的学习目标确定为：①结合“队列表演（一）”的具体情境，利用点子图探索两位数乘两位数的计算方法，理解算理；②交流各自算法的过程，体验算法的多样化和算理的直观化；③正确理解两位数乘两位数的横式笔算，能选择合理简捷的运算途径。

为实现以上学习目标，我设计了三个教学环节：回忆→探究→反思，以实现学生对两位数乘两位数横式运算的主动建构，发展学生的数学学习能力，提升学生的数学素养。

（一）回顾旧知——唤醒几何直观已有经验。

弗赖登塔尔提出“数学现实”论，认为“数学源于现实，存在于现实，并且用于现实，而且每个学生有各自不同的‘数学现实’”。因此，我利用课件播放微视频，鼓励学生回忆以往运用点子图进行直观运算的课例（如图1），唤醒学生对几何直观的已有经验，为主动运用点子图奠定基础。

图1

（二）“四学”护航——借助几何直观探究算法。

建构主义认为，学习者的知识是在一定的情境下，借助他人的帮助（如人与人之间的协作、交流，利用必要的信息等），通过意义的建构而获得的。为了帮助学生有效建构两位数乘两位数的计算方法，课堂上我以生生、师生之间的互助与对话为主要学习方式，设计了以下四个学习步骤。

第一步：首学——自主探索，展开思维。

“队列表演”是一种计算方阵的情境，数学味儿浓厚。教师出示情境（如图2）后，鼓励学生自主收集信息、提出问题并列式，培养学生的数学问题意识。通过观察算式的不同，迅速进入新课的探究。

图2

上课时，我鼓励学生在点子图上圈一圈，画一画，并尝试写出计算过程。通过首学，学生的思维得以展开，为课堂的深入学习做好了准备。

第二步：互学——小组交流，外化思维。

美国“科尔曼报告”指出：同伴互助是影响孩子学习的重要因素。基于此，我将课堂上的部分时间还给学生，在学生自主研究的基础上，鼓励学生开展组内互助，分享方法。在互学环节，学生分享首学中的实践与体验，充分发表自己独特的见解，并选出小组发言人，为小组向全班汇报做好充分的准备。

第三步：群学——小组展示，深化思维。

课堂教学中生生、师生之间的对话，是落实“以生为本”的重要途径。在对话过程中，学生的自我体验更加丰富，自我认识更加深刻，自主建构更加完善。

在这个环节中，我让学生结合自己的点子图来汇报自己的算法。于是，学生多样的点子图和算法呈现出来了。

方法 1：竖着每列有12个，把12分成10和2，先算 14×10=140，就是上面这 10行的个数；再算14×2=28，就是下面这2行的个数；最后算140+28=168，就是总共的个数了（如图3）。

图3

方法 2：一行有14个，可以把14分成10和4，先算 12×10=120，就是左边这 10列的个数；再算12×4=48，就是右边这4列的个数；最后算120+48=168，就是总共的个数了（图略）。

方法3：这里有12行，把它平均分成2份，每份有 6 行。先算 14×6=84，再算 84×2=168（图略）。

方法4：我是用列表法来计算的，把14分成10 和 4，把 12 分成 10 和 2，先算 10×10=100，再算10×4=40，接着算 10×2=20，然后算 4×2=8，最后算100+40+20+8=168（如图4）。

图4

方法5：把点子图竖着平均分成2份，也就是把14分成7和7，先算12×7=84，这就算出了左边的个数，最后用84×2=168就算出总共的个数了（图略）。

方法 6：把 12 分成 9 和 3，先算 14×9=126，算出上面9行的个数；再算14×3=42，算出下面3行的个数。最后算126+42=168，就是总数了（图略）。

……

这一环节，台上台下学生相互补充、质疑、解惑、评价。通过生生对话，帮助学生理解、内化知识。特别是学生借助点子图解释自己算法和算理的过程，不仅能让算理看得见，让思维过程说得清，交流中还能充分感受算理的直观化和算法的多样化。

第四步：共学——师生对话，提升思维。

教学中，教师引导学生对先前的学习进行总结提炼，形成对知识的整体建构，深化学生的认识，提升学生的思维。

（1）借助课件动画演示点子图，梳理总结多样的算法，重点是让学生理解表格的方法，鼓励学生利用点子图的图示解释表格计算的道理，理解表格中的数据是如何得到的，沟通表格中的数据与点子图及算式的联系，使得“图中有表，表中有图”（如图5）。

图5

（2）引导学生回顾思考借助什么工具来帮助计算，强化点子图的作用，体会点子图可以直观地帮助我们理解数学，是学习数学的好帮手，加深学生对几何直观的认识，渗透数形结合的思想。

（3）鼓励学生把前面提到的多样的算法进行分类。

分类1：我们是分成三类（如图6）。上面两种为一类，都是把一个两位数分成整十数和一位数来算的；下面两种为一类，因为是把一个两位数分成一位数乘一位数来算的；中间是表格法，把两个两位数都分成了整十数和一位数来算的。

图6

分类2：我们是分成两类（如图7）。上面三种为一类，因为它们都是把两位数拆分成整十数和一位数的和；下面两种为一类，因为它们都是把一个两位数拆分成一位数乘一位数。

图7

分类后，我鼓励学生寻找不同算法的相同之处。通过讨论，学生发现“它们都是把两位数乘两位数这一新知识，转化成我们学过的两位数乘整十数或两位数乘一位数的旧知识”。最后教师点出转化是数学学习中常用的一种方法，渗透分类思想和转化思想。

（4）尝试计算 13×11，学生独立计算后，教师组织大家交流算法，结果如下（如图8）。

图8

在交流后，我引导学生对比13×11和14×12的算法，学生发现13×11的计算方法要比14×12少了两种，即把两位数拆分成一位数乘一位数的那两种。由此体会到算法的适用性，在讨论中，让学生逐步体会把两位数分成一位数乘一位数的算法具有局限性，而把两位数分成整十数和一位数来计算更具有普适性，这为后面的竖式学习埋下伏笔。

（5）练习巩固，拓展延伸。

①一共有多少箱水果？圈一圈，算一算。

图9

乘法属于二维计算，运用面积这一直观模型能帮助学生探究计算方法，因此，我们尝试将教材上的点子图改为格子图，鼓励学生借助面积模型进行计算，巩固算法，体会几何直观的作用。

②算一算：11×11，12×11，15×11，23×11。

学生独立计算后，引导学生观察算式，讨论有什么发现。通过计算两位数乘11，感受数学的魅力，激发学生进一步探究数学的兴趣。

（三）反思总结——提高几何直观应用意识。

课的最后，让学生谈谈自己这节课的收获，使他们在反思、对话中回顾知识、方法，积累学习经验，提高学生运用几何直观的意识。

师：通过这节课的学习，你有什么收获？

生：我们学习新知识时，可以把它转化为旧知识。

生：我们解决问题时，可以借助点子图来帮忙。

生：不仅可以用点子图帮助我们解决问题，还可以用其他图形帮助我们解决问题。

……

从学生的回答中不难看出，学生已体会到直观图示是学习数学的重要工具，正如华罗庚所说：数形本是相依偎，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。