李长洲,李海洋

(西安工程大学理学院，陕西西安 710048)

复数域上具有主生成元的四维结合代数的分类

李长洲,李海洋

(西安工程大学理学院，陕西西安 710048)

为了给出复数域C上的具有主生成元的四维结合代数在同构意义下的分类，利用环论的相关知识以及主生成元所满足的方程的根的分布:有1个四重根、有4个不同的根、有1个三重根和1个单根、有2个不同的二重根、有1个二重根和2个不同的单根的情况，把主生成元所满足的以上每一类方程经过平移，拉伸变成较为简单的形式，采用线性代数与商代数的相关知识以及用maple软件进行了大量运算得出以上每类方程所表示的同构型与方程的参数选取无关，最后通过比较每类方程所代表的同构型，给出了完整的分类结果，加深了对结合代数结构的理解，对相关的研究具有一定的参考价值。

环论；结合代数；商代数；具有主生成元的四维结合代数；同构分类

抽象代数学研究的一个中心任务是对各种代数结构做同构意义下的分类。例如，有限单群的分类[1]，主理想整环上有限生成模的结构定理[2]等。结合代数[3-6]这种结构早在凯莱提出矩阵代数时就已经有人开始研究，目的是刻画各种结合代数的结构和表示。低维结合代数[7-15]的研究一直是大家关注的一个热门课题，文献[16]研究了代数闭域K上的二维结合代数的分类，具体结果如下：在该结合代数上存在一组基底{e,u}，满足u2=u或者u2=0。文献[17]研究了域K上三维结合代数的分类，文献[18]研究了代数闭域上三维非交换代数的分类，文献[19]研究了Fp域上的四维结合代数的分类，文献[20]研究了代数闭域上的含幺元的五维结合代数的分类。

本文对复数域C上具有主生成元的四维结合代数做出分类，这种代数结构取决于主生成元满足的方程f(x)=x4-px3-qx2-rx-s=0的根的情况，由代数学基本定理知该方程有4个根，由于存在重根，此方程的根一共有5种情况：有1个四重根；有4个不同的根；有1个三重根和1个单根；有2个不同的二重根；有1个二重根和2个不同的单根。

1 背景知识

定义1[4]设M是域K上的向量空间，又在M上定义了一个乘法运算，称M是域K上的结合代数， 当M满足以下条件，∀α,β,γ∈M,k∈K有：

当M中乘法运算满足交换律时，即∀α,β∈M，有αβ=βα，称M是交换结合代数。当存在元素e∈A，∀α∈A，有eα=αe=α，称e是M中的幺元，M是含幺元的结合代数。

定义2[4]向量空间M的维数称为域K上的结合代数M的维数。

定义4[4]设M1和M2是域K上的结合代数，称M1同构于M2，记为M1≅M2，当存在一个从M1到M2的线性同构φ，满足∀α,β∈M有φ(αβ)=φ(α)φ(β)。

定义5[4]设M是域K上的含幺元e的四维结合代数，如果在M存在一个元素α，使得e,α,α2,α3是M的一组基底，称α是主生成元，M是含主生成元的结合代数。这时有α4=pα3+qα2+rα+se,p,q,r,s∈K，显然M是交换的。

引理1 设M1和M2是域K上的具有主生成元的结合代数，若存在主生成元满足相同的方程，则M1≅M2。

2 坐标变换下的粗分类

笔者利用简单的线性变换对复数域上四维具有主生成元的代数M进行粗分类，设α∈M，使得e,α,α2,α3线性无关，则α是主生成元，后面用1表示e。设x4=px3+qx2+rx+se是α满足的方程，即α满足方程f(x)=x4-px3-qx2-rx-s=0。

1)当f(x)=0有1个四重根a，即f(x)=(x-a)4=0，a∈C。令x′=x-a，显然1,x′,x′2,x′3也是M的一组基底，这是因为

由于过渡矩阵可逆，所以1,x′,x′2,x′3是M的一组基底，因此x′也是M的主生成元，由上述知x′4=0，仍用x来表示主生成元，这时的代数记作M1，则M1=C[x]/(x4)。

2)当f(x)=0有1个三重根a和1个单根b，即f(x)=(x-a)3(x-b)=0，a≠b，a,b∈C。

由于过渡矩阵可逆，所以1,x′,x′2,x′3是M的一组基底。由上述可得x′3(x′-1)=0。仍用x来表示主生成元，此时的代数记作M2，则M2=C[x]/(x3(x-1))。

3)当f(x)=0有2个不同的二重根a,b，即f(x)=(x-a)2(x-b)2=0,a,b∈C。

4)当f(x)=0有1个二重根a和2个单根b,c，即f(x)=(x-a)2(x-b)(x-c)=0,a,b,c∈C。

5)当f(x)=0有4个不同的根a,b,c,d，即f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=0，a,b,c,d∈C。

综合上面的讨论可知4)和5)可能由于d,f的不同取值存在不同的同构类型，所以需要进一步的讨论。

3 可能的分类代表元

引理2C[x]/(x2(x-1)(x-a))≅C[t]/(t2(t-1)(t+1))，a≠0,1。

证明 令φ:C[x]/(x2(x-1)(x-a))→C[t]/(t2(t-1)(t+1)),

可以验证φ(x2(x-1)(x-a))=0成立，则该定义是好的，容易看出φ是同态。

设T是从基底1,x,x2,x3到1，t,t2,t3的过渡矩阵，即φ(1,x,x2,x3)=(1,t,t2,t3)T，可以求出：

引理3C[x]/(x(x-1)(x-a)(x-b))≅C[t]/(t(t-1)(t+1)(t-d))，且C[t]/(t(t-1)(t+1)×(t-d))的同构型与d取值无关，只要d≠0,±1,a≠b且a,b≠0,1。

证明 令φ:C[x]/(x(x-1)(x-a)(x-b))→C[t]/(t(t-1)(t+1)(t-d))，

可以验证有φ(x(x-1)(x-a)(x-b))=0成立，则该定义是好的，容易看出φ是同态映射。设T是从基底1,x,x2,x3到1,t,t2,t3的过渡矩阵，即φ(1,x,x2,x3)=(1,t,t2,t3)T，可以求出

下面证明C[t]/(t(t-1)(t+1)(t-d))的同构型与d取值无关，只要d≠0,±1。

令φ:C[x]/(x(x-1)(x+1)(x-d1)) →C[t]/(t(t-1)(t+1)(t-d2))，d1≠d2，

可以验证有φ(x(x-1)(x+1)(x-d1))=0，则该定义是好的，容易看出φ是同态。

设T是从基底1,x,x2,x3到1,t,t2,t3的过渡矩阵，即φ(1,x,x2,x3)=(1,t,t2,t3)T，可以求出：

4 分类代表元

定理1M2与M4同构。

证明 令φ:C[x]/(x3(x-1))→C[t]/(t2(t+1)(t-1)),

定理2M1与M2不同构。

证明 若M1与M2同构，则存在一个同构映射:

φ:C[x]/(x3(x-1))→C[t]/(t4),

从而0=φ3(x)(φ(x)-1)=(At3+Bt2+Ct+D)3(At3+Bt2+Ct+D-1)，化简可得：

4AD3+12BCD2+4C3D-3AD2-6BCD-C3=0,

(1)

4BD3+6C2D2-3BD2-3C2D=0,

4CD3-3CD2=0,

(2)

D4-D3=0。

(3)

设T是从基底1,x,x2,x3到1,t,t2,t3的过渡矩阵，即φ(1,x,x2,x3)=(1,t,t2,t3)T，可以求出

又det(T)=C6，由式(3)得D=0，或D3=1。当D=0时，代入式(1)得出C=0；当D3=1，给式(2)两边乘D，把D3=1代入该式得到C=0，综上C=0，可知φ不是同构映射，从而M1与M2不同构。

定理3M1与M3不同构。

证明 若M1与M3同构，则存在一个同构映射：

φ:C[x]/(x2(x-1)2)→C[t]/(t4)，

从而0=φ2(x)(φ(x)-1)2=(At3+Bt2+Ct+D)2(At3+Bt2+Ct+D-1)2，化简得：

4AD3+12BCD2+4C3D-6AD2-12BCD-2C3+2AD+2BC=0，

(4)

4BD3+6C2D2-6BD2-6C2D+2BD+C2=0，

4CD3-6CD2+2CD=0，

D4-2D3+D2=0，

(5)

设T是从基底1,x,x2,x3到1,t,t2,t3的过渡矩阵，即φ(1,x,x2,x3)=(1,t,t2,t3)T，可以求出

又det(T)=C6，由式(5)可得D=0,1,当D=0代入式(4)得C=0，当D=1代入式(4)得C=0，综上C=0，可知φ不是同构映射，从而M1与M3不同构。

定理4M1与M5不同构。

证明 若M1与M5同构，则存在一个同构映射：

φ:C[x]/(x(x-1)(x+1)(x-2))→C[t]/(t4)，

从而有：

0=φ(x)(φ(x)-1)(φ(x)+1)(φ(x)-2)=

(At3+Bt2+Ct+D)(At3+Bt2+Ct+D-1)(At3+Bt2+Ct+D+1)(At3+Bt2+Ct+D-2)，

化简得：

4AD3-6AD2+12BCD2-12BCD+4C3D-2C3-2AD+2A-2BC=0，

4BD3-6BD2+6C2D2-6C2D-2BD+2B-C2=0，

4CD3-6CD2-2CD+2C=0，

(6)

D4-2D3-D2+2D=0，

(7)

设T是从基底1,x,x2,x3到1,t,t2,t3的过渡矩阵，即φ(1,x,x2,x3)=(1,t,t2,t3)T，可以求出：

又det(T)=C6，由式(7)得D=0,±1,2，代入式(6)得C=0，可知φ不是同构映射，从而M1与M5不同构。

定理5 M2与M3不同构。

证明 若M2与M3同构，则存在一个同构映射：

φ:C[x]/(x3(x-1))→C[t]/(t2(t-1)2)，

从而有0=φ3(x)(φ(x)-1)=(At3+Bt2+Ct+D)3(At3+Bt2+Ct+D-1)，化简得：

10A4+36A3B+32A3C+28A3D+48A2B2+84A2BC+72A2BD+36A2C2+60A2CD+24A2D2+28AB3+72AB2C+60AB2D+60ABC2+96ABCD+36ABD2+16AC3+36AC2D+24ACD2+4AD3+6B4+20B3C+16B3D+24B2C2+36B2CD+12B2D2+12BC3+24BC2D+12BCD2+2C4+4C3D-7A3-18A2B-15A2C-12A2D-15AB2-24ABC-18ABD-9AC2-12ACD-3AD2-4B3-9B2C-6B2D-6BC2-6BCD-C3=0，

(8)

-9A4-32A3B-28A3C-24A3D-42A2B2-72A2BC-60A2BD-30A2C2-48A2CD-18A2D2-24AB3-60AB2C-48AB2D-48ABC2-72ABCD-24ABD2-12AC3-24AC2D-12ACD2-5B4-16B3C-12B3D-18B2C2-24B2CD-6B2D2-8BC3-12BC2D+4BD3-C4+6C2D2+6A3+15A2B+12A2C+9A2D+12AB2+18ABC+12ABD+6AC2+6ACD+3B3+6B2C+3B2D+3BC2-3BD2-3C2D=0，

(9)

4CD3-3CD2=0，

(10)

D4-D3=0。

(11)

设T是从基底1,x,x2,x3到1,t,t2,t3的过渡矩阵，即φ(1,x,x2,x3)=(1,t,t2,t3)T，可以求出

T13=D2,T23=2CD,T33=-3A2-4AB-2AC-B2+2BD+C2,T43=4A2+6AB+4AC+2AD+2B2+2BC，T14=D3,T24=3CD2,T34=-6A3-15A2B-12A2C-9A2D-12AB2-18ABC-12ABD-6AC2-6ACD-3B3-6B2C-3B2D-3BC2+3BD2+3C2D，T44=7A3+18A2B+15A2C+12A2D+15AB2+24ABC+18ABD+9AC2+12ACD+3AD2+4B3+9B2C+6B2D+6BC2+6BCD+C3。

由式(11)得D=0,1。

当D=1时，代入式(10)得C=0，代入det(T)=C(3A+2B+C)(C+A+B)4=0。

当D=0时，代入式(8)化简得：

(10A2+16AB+12AC+6B2+8BC+2C2-7A-4B-C)(C+B+A)2=0。

把D=0代入式(9)化简得：

-(9A2+14AB+10AC+5B2+6BC+C2-6A-3B)(C+B+A)2=0。

当A+B+C=0时，det(T)=C(3A+2B+C)(C+A+B)4=0。

当A+B+C≠0时，要使得上述两式为零，要满足：

10A2+16AB+12AC+6B2+8BC+2C2-7A-4B-C=0，

(12)

-9A2-14AB-10AC-5B2-6BC-C2+6A+3B=0，

(13)

式(12)+式(13)可得：

10A2+16AB+12AC+6B2+8BC+2C2-7A-4B-C+

(-9A2-14AB-10AC-5B2-6BC-C2+6A+3B)=

A2+2AB+2AC+B2+2BC+C2-A-B-C=

(C+B+A)(C-1+B+A)，

取C=1-A-B代入式(12)得2A+B+1，代入式(13)得-2A-B-1。联立方程：

2A+B+1=0；A+B+C=1，

解出A=C-2,B=-2C+3，代入det(T)=C(3A+2B+C)(C+A+B)4=0，综上得到M2与M3不同构。

定理6 M2和M5不同构。

证明 若M2和M5同构，则存在一个同构映射：

φ:C[x]/(x(x-1)(x+1(x-2))→C[t]/(t3(t-1))，

从而有：

0=φ(x(x-1)(x+1)(x-2))=φ(x)(φ(x)-1)(φ(x)+1)(φ(x)-2)=

(At3+Bt2+Ct+D)(At3+Bt2+Ct+D-1)(At3+Bt2+Ct+D+1)(At3+Bt2+Ct+D-2)，

化简得：

A4+4A3B+4A3C+4A3D+6A2B2+12A2BC+12A2BD+6A2C2+12A2CD+6A2D2+4AB3+12AB2C+12AB2D+12ABC2+24ABCD+12ABD2+4AC3+12AC2D+12ACD2+4AD3+B4+4B3C+4B3D+6B2C2+12B2CD+6B2D2+4BC3+12BC2D+12BCD2+C4+4C3D-2A3-6A2B-6A2C-6A2D-6AB2-12ABC-12ABD-6AC2-12ACD-6AD2-2B3-6B2C-6B2D-6BC2-12BCD-2C3-A2-2AB-2AC-2AD-B2-2BC+2A=0，

4BD3+6C2D-6BD2-6C2D-2BD-C2+2B=0，

4CD3-6CD2-2CD+2C=0，

(14)

D4-2D3-D2+2D=0，

(15)

设T是从基底1,x,x2,x3到1,t,t2,t3的过渡矩阵，即φ(1,x,x2,x3)=(1,t,t2,t3)T，可以求出

T13=D2,T23=2CD,T33=2BD+C2,T34=A2+2AB+2AC+2AD+B2+2BC，T14=D3,T24=3CD2,T34=3BD2+3C2D,T44=A3+3A2B+3A2C+3A2D+3AB2+6ABC+6ABD+3AC2+6ACD+3AD2+B3+3B2C+3B2D+3BC2+6BCD+C3，又det(T)=C3(A+B+C)3，由式(15)得D=0,±1,2，代入式(14)得C=0，从而φ不是同构映射，即M2和M5不同构。

定理7 M3和M5不同构。

证明 若M3和M5同构，则存在一个同构映射：

φ:C[x]/(x(x-1)(x+1)(x-2))→C[t]/(t2(t-1)2)，

从而有：

0=φ(x(x-1)(x+1)(x-d)=

φ(x)(φ(x)-1)(φ(x)+1)(φ(x)-2)=

(At3+Bt2+Ct+D)(At3+Bt2+Ct+D-1)(At3+Bt2+Ct+D+1)(At3+Bt2+Ct+D-2)，

化简得：

10A4+36A3B+32A3C+28A3D+48A2B2+84A2BC+72A2BD+36A2C2+60A2CD+24A2D2+28AB3+72AB2C+60AB2D+60ABC2+96ABCD+36ABD2+16AC3+36AC2D+24ACD2+4AD3+6B4+20B3C+16B3D+24B2C2+36B2CD+12B2D2+12BC3+24BC2D+12BCD2+2C4+4C3D-14A3-36A2B-30A2C-24A2D-30AB2-48ABC-36ABD-18AC2-24ACD-6AD2-8B3-18B2C-12B2D-12BC2-12BCD-2C3-4A2-6AB-4AC-2AD-2B2-2BC+2A=0，

-9A4-32A3B-28A3C-24A3D-42A2B2-72A2BC-60A2BD-30A2C2-48A2CD-18A2D2-24AB3-60AB2C-48AB2D-48ABC2-72ABCD-24ABD2-12AC3-24AC2D-12ACD2-5B4-16B3C-12B3D-18B2C2-24B2CD-6B2D2-8BC3-12BC2D+4BD3-C4+6C2D2+12A3+30A2B+24A2C+18A2D+24AB2+36ABC+24ABD+12AC2+12ACD+6B3+12B2C+6B2D+6BC2-6BD2-6C2D+3A2+4AB+2AC+B2-2BD-C2+2B=0，

4CD3-6CD2-2CD+2C=0，

(16)

D4-2D3-D2+2D=0。

(17)

设T是从基底1,x,x2,x3到1,t,t2,t3的过渡矩阵，即φ(1,x,x2,x3)=(1,t,t2,t3)T，可以求出

T13=D2,T23=2CD,T33=-3A-4AB-2AC-B2+2BD+C2,T43=4A2+6AB+4AC+2AD+2B2+2BC，T14=D3,T24=3CD2,T34=-6A3-15A2B-12A2C-9A2D-12AB2-18ABC-12ABD-6AC2-6AC2-6ACD-3B3-6B2C-3B2D-3BC2+3BD2+3C2D，T44=7A3+18A2B+15A2C+12A2D+15AB2+24ABC+18ABD+9AC2+12ACD+3AD2+4B3+9B2C+6B2D+6BC2+6BCD+C3，又det(T)=C(3A+2B+C)(C+A+B)4，由式(17)得D=0,±1,2代入式(16)得C=0，从而φ不是同构映射，即M3和M5不同构。

综上，复数域C上的含主生成元的结合代数一定是交换的，且在同构意义下只有4类：

M1=C[x]/(x4)； M2=C[x]/(x3(x-1))；

M3=C[x]/(x2(x-1)2)； M5=C[x]/(x(x-1)(x+1)(x-2))。

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Classification of 4-dimensional associative algebras with principal generators over complex numbers

LI Changzhou, LI Haiyang

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an, Shaanxi 710048, China)

In order to obtain the classification of 4-dimensional associative algebras with principal generators over complex numberCunder isostructuralism, by using the ring theory and distribution of roots of the equations satisfied by the principal generators: one quadruple root, four different roots, one triple root and one simple root, two different double roots, one double root and two different simple roots, the above equations are translated and stretched, then the more simple equations are obtained. By using linear algebras, quotient algebras and maple to make a large number of operations, it is concluded that each isomorphism type has nothing to do with parameters. Finally by comparing each isomorphism type, the complete classification is obtained, which deepens the realization of structure of asso ciative algebra, and provides reference for relative study.

ring theory; associative algebras; quotient algebras; 4-dimensional associative algebras with principal generators; isomorphism classification

1008-1542(2017)02-0123-08

10.7535/hbkd.2017yx02002

2016-09-29；

2016-11-28；责任编辑：张 军

国家自然科学基金(11271297)；西安工程大学研究生创新基金(CX201625)

李长洲(1989—)，男，陕西汉中人，硕士研究生，主要从事拓扑学方面的研究。

李海洋教授。E-mail：fplihaiyang@126.com

O153 MSC(2010)主题分类：34B40

A

李长洲, 李海洋.复数域上具有主生成元的四维结合代数的分类[J].河北科技大学学报,2017,38(2):123-130.

LI Changzhou, LI Haiyang.Classification of 4-dimensional associative algebras with principal generators over complex numbers[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2017,38(2):123-130.