覃亚平　黄琳　邓勇

摘 要 利用几何画板3D工具设计立体动态模型，揭示概念形成、突破认知难点、探究问题解决，帮助学生更好地内化几何概念、化解认知困难、提高问题解决能力，弥补传统教学手段的不足，促进立体几何教学活动的有效开展。

关键词 立体几何；几何画板；3D工具

中图分类号：G633.63 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2017）04-0039-04

Abstract This paper designs three-dimensional dynamic models by

using geometers sketchpad 3D tools， to reveal the formation of con-

cept， to break cognitive difficulties and to explore the problem solving.

These models help students better internalize geometric concepts， dissolve the cognitive difficulties， improve the ability of solving pro-

blem. The 3D tools make up for the inadequacy of traditional tea-

ching tools， and promote effective development of three-dimensional

geometry teaching activities.

Key words three-dimensional geometry； Geometers Sketchpad； 3D tools

1 引言

我國《普通高中数学课程标准（实验稿）》指出，高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，加强数学教学与信息技术的结合[1]。立体几何是高中数学的重要课程，在培养学生空间想象能力、抽象思维能力等方面具有重要意义[2]。但用传统教学媒体或工具辅助教学，立体几何通常被学生认为是难学的内容。传统的二维作图手段不能提供全面的视觉信息，一些空间想象力欠缺的学生很难克服视觉干扰，容易出现立体几何学习中的认知困难。于是教师习惯于使用实物模型进行展示，实物模型虽然比较直观，但是其毕竟没有相应的字母标识，不便于描述和讲解。另外，传统教学手段很难反映立体几何图形的动态变化，教师在讲解某些有些问题时，再多的语言都无法让学生真正理解[3]。

利用几何画板3D工具设计立体动态模型，弥补传统教学手段的不足，促进立体几何教学活动的有效开展，是本文的主要研究内容。

2 几何画板3D工具简介

几何画板在国内发行20年来，受到大量数学教师的开发和使用，几经改进，已发展得非常成熟。几何画板的最新版本整合了3D几何画板工具，弥补了几何画板只适用于平面几何的不足，为解决立体几何问题提供了有利条件。这里大概介绍一下几何画板有哪些3D工具[1]。

基本工具 每次使用这套工具，第一步必须新建坐标系，建立坐标系后必须初始化。坐标系中有三视图、旋转功能，可以直接建立三棱柱、三棱锥、长方体。通过作图功能可以构造其他几何模型，如图1所示。除了构造立体图形之外，还有测量功能，可以测量距离、夹角、面积、体积等。

旋转工具 建立坐标系，可以水平和垂直旋转立体图形，使学习者从不同角度观察立体图形。实现空间点绕轴的旋转，制作立体图形的展开动画等。

着色工具 对凸多面体设置线段的虚实，对平面着色，绘制二元函数。利用这三个部分的工具，可以解决高中立体几何的大多数问题。

3 几何画板3D工具在立体几何教学中的应用探索

设计立体动态模型，揭示概念形成 《普通高中数学课程标准（试验）》中指出：“教材应注意创设情境，从具体的事例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、指出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉[4]。”因此，不仅要教给学生数学知识，而且要重视揭示知识的形成过程，加深学生对数学概念的本质特征的理解。用几何画板3D工具设计立体动态模型，把立体情境具体形象地、有步骤地向学生展示出来，向学生揭示或让学生亲身体验知识形成和发展的全过程，促进其理解数学概念的本质。

【案例1】探究直线和平面所成的角的概念形成。

首先，借助几何画板的“[3D]基本工具”，依次点击“建立三维坐标系”—“正交视图定点”，在xoy平面构造出正方形，这样直观看上去就是代表水平面；

其次，构造出在xoy平面投影在正方形内，Z轴坐标一个为正、一个为负的两点；

再次，利用几何画板的“[3D]着色工具”，依次点击“控制台”—“四边面遮挡”，就可以构造出一条直线与水平面相交的空间图形，其中饱和度调节被遮挡部分的深浅，通常调到0～0.4效果较好；

最后，利用几何画板的“[3D]基本工具”依次点击“线段上定点”—“点在正交视图的投影”—“正交视图定点”—“构造线段”，做出直线在平面的射影和平面上的经过斜足的其他直线。

最终设计出图2所示立体动态模型。让学生借助3D模型，通过旋转多角度观察模型，比较斜线和平面内过斜足的直线所成角的大小关系，从而发现斜线和它的射影所成的角是最小的，并引导学生利用三角知识证明这个结论，最后给出直线和平面所成的角的概念。这样学生不仅对概念有了直观的、感性的认知，而且对概念的形成和本质也有了深刻的认识。

设计立体动态模型，突破认知难点 由于空间想象力的缺乏，有些学生不能将一些题目的文字语言或符号语言转化为图形语言，更加无法判断两直线的位置关系，如案例1。利用3D工具绘制各种立体问题情境非常直观，能把一个“活”的立体图形展现在学生眼前，充分调动学生的感觉器官，形成丰富的直观感知，从而突破认知难点，建立起对空间图形的理解[5]。

【案例2】已知α∩β=l，a?α，a∩l=A，b?β，b∩l=B，A、B为不同点，则a，b的位置关系是什么？

借助几何画板的“[3D]基本工具”，依次点击“建立三维坐标系”—“初始化”—“长方体”—“线段上定点”—“线段”—“多边形工具”—“隐藏”不必要的图形，构造出案例2的立体情境。图3中的图像是3D旋转过程中截取的。通过此连续旋转过程，帮助学生在头脑中形成空间想象。学生很容易判断出a，b两条直线是既不相交也不平行的直线，即异面直线。

设计立体动态模型，探究问题解决 由于空间想象力的缺乏，学生解决立体问题的能力较弱。特别是对于一些需要对立体图形进行翻转、切割、折叠的问题，学生更加难以求解，教师仅凭传统的教学手段也难以将问题情境和问题解决的过程讲解清楚。利用几何画板3D工具，创设问题情境，展示动态的问题解决过程，能够化抽象为具体、化具体为形象，有利于提高学生解决问题的能力，增强教学的趣味性，激发学生的学习兴趣[6]。

【案例3】长方体ABCD-A′B′C′D′，过BC的截面截去长方体的一角，余下的几何体是不是棱柱？

首先，借助几何画板的“[3D]基本工具”，依次点击“建立三维坐标系”—“初始化”—“长方体”—“线段上定点”—“构造线段”—“隐藏”，构造几何体A′E′F′D′-ABCD。

其次，利用几何画板的“[3D]旋转”，依次点击“定轴旋转控制台”—“定轴转动”—“构造线段”，构造可旋转的几何体F′C′C-E′B′B，如图4a所示；转动几何体F′C′C-E′B′B，如图4b所示；接着隐藏几何体F′C′C-E′B′B，如图4c所示，表示以面ABCD、面A′E′F′D′为底面時，余下的几何体A′E′F′D′-ABCD不是棱柱；垂直旋转几何体A′E′F′D′-ABCD，如图4d所示，表示以面D′F′CD、面A'E'BA为底面时，余下的几何体A′E′F′D′-ABCD是棱柱。

利用几何画板3D工具，对空间几何体进行切割、翻转，直观地揭示问题情境和问题解决过程。不仅使学生对棱柱的本质概念有了更深的理解，而且让学生学到要从不同的角度看待问题，才能得到更加全面、真实的解答。

【案例4】图5是正方体平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60?角；④DM与BN垂直。4个命题中，正确命题的序号是（ ）。

首先，借助几何画板的“[3D]基本工具”，依次点击“建立三维坐标系”—“初始化”—“正交视图定点”，在xoy平面构造一个正方形ABCD。

其次，利用几何画板的“[3D]旋转”，依次点击“定轴旋转控制台” —“定轴转动” —“构造线段”—“隐藏”，构造案例4中的其他线段，如图6a所示。图6b、c表示将展开图折回的过程，图6d表示最终折回正方体。通过图6d很容易看出，正确的有③④。

利用几何画板3D工具，对空间图形进行折叠，直观地、动态地展示问题情境和问题解决过程。在问题解决过程中，通过直观动态的模型，加深学生对知识点的理解，培养学生的空间想象力，激发学生的学习兴趣。

4 结语

利用3D几何画板工具设计直观的、动态的立体几何教学案例，弥补传统教学手段的不足，帮助学生更好地探究概念本质、突破认知难点、解决疑难问题。利用3D工具进行立体几何教学，更有效地培养学生的空间想象力，提高学生的问题解决能力，发展学生的创新思维能力。

参考文献

[1]宗晓.用几何画板3D工具设计高中立体几何积件的研究[D].桂林：广西师范大学，2012.

[2]孙中强.计算机三维技术在立体几何教学中的应用研究[D].济南：山东师范大学，2011.

[3]郭文波.3D数学教学平台在立体几何图形探究与学习中的有效应用[J].软件，2014（3）：224-226.

[4]石志明.关于立体几何开展探究性学习的研究[D].兰州：西北师范大学，2006.

[5]盘俊春.革命性的数学工具：Cabri3D在立体几何教学中的应用[J].中小学信息技术教育，2013（1）：73-74，77.

[6]赵生初，杜薇薇，卢秀敏.《几何画板》在初中数学教学中的实践与探索[J].中国电化教育，2012（3）：104-107.