王吉瑞

我是滨州市沾化区第一中学高三学生，数学成绩在高中生中估计应属于较好的。我在学习“空间向量与立体几何”时，深感由于没有掌握正确方法，基础性的知识也会难学。在这里，我把自己遇到的有关错误做些分析，希望能帮助同样进行立体几何学习的同学减少错误，迅速准确地掌握好这部分学习内容。

一、“空间向量与立体几何”解题的常见错误

（一）概念错误

在“空间向量与立体几何”的学习中，有关空间向量概念的常见错误有两种：第一种是理解错误，第二种是概念混淆。第一种错误主要源自忽略了某种定义条件或者对概念的认知模糊。例如，我们往往会将二面角当作一个平面内直线和交线相互垂直的角，有时在理解两向量平行这一概念时完全忽略了成立条件。第二种错误则源自对概念理解的肤浅，常见错误包括混淆向量相关的加法运算和数量积坐标运算；混淆向量和线段的概念等。

（二）运算错误

虽然在进行空间向量坐标的基础运算时基本不会产生错误，尤其是在点坐标已知的情况下，向量坐标会比较容易计算，但是如果题目的综合性增强，关系的复杂程度上升，错误率就会直线提高。值得注意的是，向量坐标计算在这类题目中往往属于前置问题，是后续问题的运算基础，所以一旦该计算出现错误，后面的解题步骤即使正确也无法得分。

（三）表述错误

表述错误主要出现于“空间向量与立体几何”学习的初期阶段，在这期间，容易因固有观念尚未扭转、对基础定义的记忆不到位等因素而使用一些错误的向量表述语言。常见的错误包括把向量a误表述为实数a；把向量的模误表述成向量本身等。值得注意的是，该错误虽然在后期的考试、测验中出现率明显变低，但笔者发现在自行进行习题训练时反而会有较高的出现率，这与平时对表述习惯的不重视有一定的关系。在日常练习时，明知道表述方法有问题，但只要不是考试解题就只求把题目解出来，不去关心表述方式有无问题，这种状况长期持续下去对解题习惯的养成有害。

（四）证明方向错误

空间向量相关的证明题目在高中数学中属于相对有一定难度的题目，向量法常被应用于线面位置关系的的证明上，虽然我们在应用向量法证明这些问题时具备较为清晰的思路，但在思维方向上经常出现问题，最终导致思路陷入死胡同，证明题整个无法解开。以线面垂直的证明为例，同学往往了解以向量法证明线面垂直的必须条件，但无法在图上找到这些必须条件，只能以脑海中的证明方向强制和已知条件进行拼凑对照，最终导致虽然证明思路无误，但证明方向完全错误的尴尬情况。这种错误的主要原因有二：其一是对各种证明定理的理解浮于表面，并没有理解定理的实际应用方式，只会被动地进行生搬硬套；其二是缺乏识图能力，不会将图中和题中的已知条件、图形元素印证成脑中的证明条件。这两个原因导致了我们在进行向量证明时找不到方向指导依据，只能凭空臆测。

（五）解题思路错误

向量解题的思路错误主要集中在三个方面：第一方面是审题思路错误，这种错误往往来自于审题不认真，根本没有搞清需要求的向量是什么。该错误在一些大量使用图形本身来表示已知条件的向量求值题中尤其常见，我们往往在审题时错误地理解需求元素。第二方面是步骤思路错误，受平时练习时不良解题习惯的影响，许多同学在考试中解答向量计算题时也有跳步的习惯。在题目的思路顺序较为清晰时，这种跳步的行为影响较小，但如果题目本身就较为复杂，需要对一些条件进行平行思考或反复运用，这种跳步行为就会为我们带来极大的思维混乱。部分同学反复用不同方法求得相同的向量，浪費解题时间，还有部分同学没有求得必须向量就直接进行下一步，当发现缺少足够的条件时又返回前一步进行向量计算，这对解题速度和解题脉络都有不利影响。第三方面是选择思路错误，立体几何有一个非常显著的特征——同一问题往往不只有一种解题方法，但我们受限于自身的计算能力和思维惯性，往往掌握了一种方法后就只用这种方法解题，不仅加大了部分问题的解决难度，而且对向量法这种基础方法过于依赖，不利于自身思维能力的拓展成长。

二、“空间向量与立体几何”学习的优化措施

（一）通过解题明确概念

为了规避概念模糊、概念混淆等因素引发的一系列初级错误，对空间向量相关所有基础概念、定理进行重明确是非常有必要的。尤其是相关学习已经进入后期时，如果这类题目错误率很高，可以在每次解答相关习题前对所需概念进行重认知，以加深对概念的理解。

（二）通过习惯规范思维

解题思维的养成并非一朝一夕之功，想要令思维模式、思考方向、解题思路等得到正确的规范，日常的习惯非常重要。不能在日常练习时图省事而使用错误的向量数学表述法，也不能因为题目简单就擅自进行跳步，否则会对日后的考试解题与复杂问题思考造成不良影响。

（三）通过练习强化读图

读图能力的低下是造成相当一部分同学找不到解题思路的主要原因，因此，为了强化读图能力，在日常刻意进行读图练习是有必要的。笔者曾经将各种类型的立体几何问题配图罗列出来，根据配图罗列出图中所反映出的已知条件和关键几何元素，这种练习方法对读图能力的提升很有帮助。

三、结语

在高中阶段，空间向量相关习题的错误大多是由同学的思维误区、审题不严、概念模糊引起的，理解困难因素引发的解题错误相对较少。所以想要降低空间向量类习题的解题错误率，首先要强化对基础知识的理解记忆，保证对概念、定理的理解不浮于表面；其次，要养成良好的解题习惯，在平时练习时就以规范的方式进行解题；最后要提高立体几何的相关素质，通过提高读图、空间想象、思维拓展能力来提高解题效率和解题质量。