范瑶颖

（广州大学 数学与信息科学学院，广东 广州 510006）

非线性差分方程周期解与次调和解的存在性

范瑶颖

（广州大学 数学与信息科学学院，广东 广州 510006）

本文首先建立二阶差分方程的变分泛函，然后将周期解的存在性转化为相应变分泛函的临界点的存在性，再利用临界点理论中的环绕定理得到该泛函临界点的存在性，证明方程至少有两个非平凡周期解的存在性. 本文结果推广了陈等2008年所得的相关结论.

差分方程；周期解；存在性；环绕定理

1 引言及主要结果

非线性差分方程理论已广泛应用于研究生态学、金融学等学科中出现的离散模型. 差分方程是微分方程离散化，在过去几十年里，许多学者运用上下解理论、不动点理论等经典方法，证明差分方程周期解的存在性、边值问题等，获得了丰富的结果[1-3].

另一方面，已有许多学者对差分方程周期解的存在性与多重性运用不同的方法进行深入广泛的研究，这些方法主要有临界点理论(包括极小极大理论、几何指标理论与Morse理论)、重合度理论等[4-8]. 在这些方法中，临界点理论已成为处理这类问题的强有力的工具.

为方便起见，本文分别记ℕ、ℤ、ℝ为自然数集、整数集、实数集. 对于任意的整数a和b，记ℤ(a)=｛a, a+1,…｝；当a≤b时，记ℤ(a, b)=｛a, a+1,…,b｝. *表示向量的转置. 对于任意的n∈ℤ，定义Δu(n)=u(n+1)-u(n)，其中Δ为向前差分算子.

本文讨论差分方程周期解的存在性与多重性，其中f∈C(ℤ×ℝ, ℝ)，假设（1）是正整数T-周期解函数，有f(t+T,z)=f(t, z)，f(t, z)=∇zF(t, z)，其中∇zF(t, z)表示F(t, z)关于z的梯度；当p为正整数时，对于任意的n∈ℤ(0,pT)，q(n-1)＞0且……