宋蕊，欧见平

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

乘积图的原子键连通性指数的上界

宋蕊，欧见平

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

原子键连通性指数是化学图论中比较重要的连通性指数，该指数已被广泛应用于研究烷烃的稳定性以及环烷烃的应变能等. 通过对乘积图的研究，给出了直积、析取和对称差的原子键连通性指数的上界，证明了这些上界是紧的，并且刻画了极图.

原子键连通性指数；直积；析取；对称差

1 引言与预备知识

设G是简单无向图，V(G)和E(G)分别表示其顶点集和边集，V(G)和E(G)的势叫做图G的顶点数和边数. 原子键连通性（atom-bond connectivity，ABC）指数是由Ernesto Estrada在1998年提出来的，连通图G的ABC指数的定义如下：

其中，d(u)和d(v)是顶点u和v的度数.

设G和H是简单无向图，图G和H的直积G×H、析取G∨H和对称差G⊕H的点集都为V(G)×V(H). 令点(a, b),(c, d)∈V(G)×V(H)，则：(a, b)(c, d)∈E(G×H)，当且仅当ac∈E(G)并且bd∈E(H)；(a, b)(c, d)∈E(G∨H)，当且仅当ac∈E(G)或者bd∈E(H)；(a, b)(c, d)∈E(G⊕H)，当且仅当ac∈E(G)或者bd∈E(H)；但不同时成立.

ABC指数已经被证明可以用来推测烷烃的能量信息[1-2]. 文献[3]给出了图和树的ABC指数的上下界，并且指出这些界都是可达的. 文献[4]中比较了化学树、分子图和一般图的GA指数和ABC指数. 文献[5-8]给出了ABC指数的一些数学性质. 文献[9]给出了关于两个图的联、复合、笛卡尔乘积、强积和纳米管乘积的ABC指数的若干不等式. 本文给出了图的直积、析取和对称差的ABC指数的上界，证明了这些上界是紧的，并且刻画了极图.

2 主要结果

2.1 直积的ABC指数

定理1设G和H是任意的两个连通、非平凡图，那么，等式成立当且仅当G和H都是正则图……