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导数中涉及“ex,lnx”的几种模型

2017-04-12黄旭东

高中生学习·高二版 2017年4期
关键词:增函数切线对数

黄旭东

在历年的导数考题中,常涉及[ex,lnx]等指、对数形式. 在求导运算过程中,出现[ex]与含[x]多项式或[lnx]与含[x]多项式混杂情形,导致后续讨论的复杂化. 笔者经仔细研究近几年全国卷试题,发现此类问题可通过化归变成几种模型,再求解. 现整理如下,供参考.

[g(x)+h(x)ex或g(x)+h(x)e-x]化归成[f(x)ex或f(x)e-x]

例1 已知函数[f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2]有两个零点,求a的取值范围.

解析 由函数有两零点,且显然[x=1]不为零点得,即[f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2=0],则有[(x-2)ex(x-1)2=-a].

记[],

则[g(x)=(x-1)3ex-2(x-1)(x-2)ex(x-1)4=(x-2)2+1ex(x-1)3].

则[x∈1,+∞, g(x)>0, g(x)]为增函数;

[x∈-∞,1, g(x)<0, g(x)]为减函数.

且[x→1, g(x)→-∞; x→-∞, g(x)→0].

由[x<2,g(x)<0]作图:[y=g(x)与y=-a.]

又直线[y=-a]与函数[y=g(x)]有两交点,

故[-a<0,即a>0.]

点评 此题的官方标准答案是直接求导进行讨论,讨论过程相当复杂;而本题通过转换函数的形式,化归成[f(x)ex]型的函数,则变得相当简洁. 一般地,由于[f(x)ex′=f(x)+f(x)ex],[f(x)e-x′=f(x)-f(x)e-x],其中[f(x)]为多项式函数,其导数脱离了多项式与[ex, e-x]的纠缠,大大简化了计算,涉及此类问题的恒成立、存在性问题与零点问题,转化成此种形式,不失为一种有效方法.

[h(x)+g(x)lnf(x)]化归成[lnf(x)+k(x)]

例2 已知函数[f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)].

(1)當[a=4]时,求曲线[y=f(x)在1,f(1)]处的切线方程;

(2)当[x∈1,+∞]时,[f(x)>0],求[a]的取值范围.

解析 (1)略.

(2)由[f(x)>0]得,

[(x+1)lnx-a(x-1)>0?lnx-a(x-1)x+1>0,x>1].

记[g(x)=lnx-a(x-1)x+1>0,x∈1,+∞],

故只需[g(x)>0.]

则[g(x)=1x-2ax+12=x2+21-ax+1xx+12]

[=x-a-12+2a-a2xx+12,x∈1,+∞].

记[h(x)=x-a-12+2a-a2].

①当[a≤2]时,

则[a-1≤1,h(x)为增函数.]

[则g(x)=h(x)xx+12≥h(1)xx+12=4-2axx+12≥0].

故[g(x)]在[(1,+∞)]上为增函数,则[g(x)>g(1)=0].

故[lnx-a(x-1)x+1>0]成立.

②当[a>2]时,

[g(x)=x2+21-ax+1xx+12=x-a-1+a2-2a?x-a-1-a2-2axx+12.]

又[a-1-a2-2a=1a-1+a2-2a<12-1+0=1,]

[a-1+a2-2a>1],

则[x∈1,a-1+a2-2a,g(x)<0.]

[则g(x)g(1)=0]恒成立相矛盾.

综上所述,[a∈-∞,2, f(x)>0].

点评 对形如[h(x)+g(x)lnf(x)]结构的函数(其中[h(x),g(x),f(x)]为多项式函数),由于求导过程中[lnx]与多项式函数不能分开,特别是含参数时,问题的讨论将变得十分复杂. 而除以[g(x)]化归成“[lnf(x)+k(x)]”型后,由[lnf(x)+k(x)′=f(x)f(x)+k(x)],则其导数只含多项式函数,大大简化运算!

“[ex+g(x)lnf(x)]”混合型,指对数分离最值化归

例3 设函数[f(x)=aexlnx+bex-1x],曲线[y=f(x)]在点(1,[f(1)])处的切线为[y=e(x-1)+2].

(1)求[a,b];

(2)证明:[f(x)>1].

解析 (1)[a=1,b=2](过程略).

(2)[f(x)=exlnx+2ex>1]

[?xlnx+2e>xe-x,][x∈0,+∞.]

记[g(x)=xlnx+2e,x>0,]

则[g(x)=1+lnx,x>0.]

故[x∈0,1e,g(x)<0,g(x)为减函数;]

[x∈1e,+∞,g(x)>0,g(x)]为增函数.

故[g(x)min=g1e=1e].

又记[h(x)=xe-x,x>0],

则[h(x)=1-xe-x,x>0].

故[x∈0,1,h(x)>0,h(x)为增函数;]

[x∈1,+∞,h(x)<0,h(x)]为减函数.

则[h(x)max=h(1)=1e].

[∴g(x)≥h(x)],即[xlnx+2e≥xe-x].

又由于[g(x)与h(x)]的最值点不在同一点取得,故等号不成立,即[xlnx+2e>xe-x],故[f(x)>1].

点评 对于形如[ex+g(x)lnf(x)]的函数,求导后会出现[ex,lnf(x)]混合交叉的形式,给我们讨论函数的单调性制造障碍. 在求恒成立题目时,可将指、对数分离,化成一边为指数,一边为对数,再利用[g(x)≤f(x)]恒成立[?g(x)max≤f(x)min]来操作. 此种方法对一些结构混杂形的试题效果较好,其本质是放缩确界比较法,由于两边自变量[x]的一致性,放缩尺度不好控制,故此法只针对混杂形结构的复杂函数,一般函数不要轻易运用.

[练习]

1. 已知函数[f(x)]=[x2+ax+b],[g(x)]=[ex(cx+d)],若曲线[y=f(x)]和曲线[y=g(x)]都过点[P(0,2)],且在点[P]处有相同的切线[y=4x+2].

(1)求[a],[b],[c],[d]的值

(2)若[x]≥-2时,[f(x)]≤[kg(x)],求[k]的取值范围.

2. 已知[f(x)=a(x-1)lnx+1, a∈R].

(1)讨论函数[f(x)]的单调性;

(2)若[x∈1,+∞,f(x)>x-alnx]恒成立,求[a]的范围.

3. 求证:[x∈0,+∞]时,[ex-x-lnxx-12>0.]

[参考答案]

1. (1)[a]=4,[b]=2,[c]=2,[d]=2 (2)[k∈1,e2]

2. (1)略 (2)[a∈1,+∞]

3. 略

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