摘要：2012年全国新课标卷这道选择题是多个知识点的小型综合，渗透着各种数学思想和方法，体现基础知识中求深度、考能力的导向，能否作对这道题并推广至這一类题，本文对此做一些分析。

关键词：函数与反函数，求导用单调性求最值

题目（2012全国新课标理科第12题）

设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为（）

分析：直接求解非常困难，若观察两函数互为反函数，利用反函数的性质结合图像便有如下巧解.

解析：易知 与 互为反函数，其图像关于直线 对称，故只需求点 到直线 距离 的最小值，且由对称性可知 设 则 （点 在 的上方，由线性规划知识点可知 ，所以 ，则 当 时， 当 时， 从而 在 处取得最小值， ，故 此时

反思：此题比较新颖，若直接设两点坐标，用两点间距离公式求解，则陷入误区.若注意到两函数互为反函数，图像关于直线 对称，故只需考虑点 （或点 ）到直线 距离最小值，在此解法中考查了函数有关概念、点到直线距离及线性规划知识点和利用导数求最值问题.属于综合性较强和在知识交汇点处命题的原则，体现数形结合与对称的思想.

按此解法不难将此题作如下推广：

设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则

作者简介：耿梁燕，1978年12月9日出生，女，新疆兵团二中数学组，中教一级教师。