王少华， 张耀辉， 徐隆洋， 刘宏祥

(1.装甲兵工程学院 技术保障工程系， 北京 100072； 2.装甲兵工程学院 科研部， 北京 100072)

基于仿真的多部件系统状态维修决策优化方法

王少华1， 张耀辉1， 徐隆洋1， 刘宏祥2

(1.装甲兵工程学院 技术保障工程系， 北京 100072； 2.装甲兵工程学院 科研部， 北京 100072)

为通过部件组合维修提高维修效益，对采用状态维修的多部件系统，建立了部件状态随机劣化模型。采用幂指数函数建立以状态值为变量的可靠度函数，在考虑不完全维修、维修时间随机分布等因素的条件下，采用蒙特卡洛仿真方法建立了系统状态劣化过程模型。以单位寿命费用最小为优化目标，建立了多部件系统状态维修阈值的优化决策模型。案例分析结果表明，建立的状态维修决策优化模型能够显著降低维修费用、提高系统可用度，是适用且有效的。

兵器科学与技术； 状态维修； 不完全维修； 蒙特卡洛仿真； 决策优化

0 引言

状态维修是在装备运行过程中，通过机内或外部检测设备获得装备的状态信息，通过状态评估和预测得到装备的实时状态和发展趋势，适时安排预防性维修的一种维修方式[1]。状态维修能够在降低装备寿命周期费用的同时，有效地降低装备故障风险，提高战备完好性。如何利用装备的状态变化规律，对状态检测策略和预防性维修阈值进行优化，是状态维修决策的关键内容[2]。对于复杂的多部件系统来说，系统状态由其内部各部件决定，而对于部件级的维修对象，其状态的随机劣化过程往往是不可逆的，预防性维修往往无法使部件状态达到“修复如新”，因此假设预防性维修为“不完全维修”。在“不完全维修”条件下，部件的状态不仅取决于其本身的劣化规律，同时需要考虑维修效果的变化规律，在这种条件下，采用解析方法进行维修决策优化建模的难度大大增加，而仿真建模方法由于能够避免复杂的解析运算，适于描述“不完全维修”条件下多部件系统的状态劣化过程，因此逐渐受到了研究者的关注。

对于多部件系统来说，其状态维修决策优化不仅需要考虑部件的状态劣化规律，同时需要对部件之间的相关性进行分析，以精确衡量故障风险与状态维修效益，进行优化决策。Wang等[3]采用仿真方法描述状态随机劣化过程，提出了维修行为决策阈值以及检测间隔期的序贯优化决策算法。Marseguerra等[4]采用仿真方法建立了系统状态劣化过程模型，建立了以费用最小化为目标的状态维修决策优化模型。Berenguer等[5]采用仿真方法建立了两部件系统状态劣化模型，对经济相关性条件下多部件系统的维修决策优化方法进行了研究。上述研究都对“不完全维修”的效果进行了确定性假设，一定程度上降低了建模难度，但事实上“不完全维修”的耗时、效果等会不可避免地存在一定的随机性，在建模过程中考虑此类因素将有助于提高建模精度，增强维修决策的科学性。为了更真实地描述故障和维修过程，本文采用仿真方法，对“不完全维修”条件下的多部件系统状态维修优化方法进行研究。

1 多部件系统状态劣化过程模型

假定多部件系统内，各部件仅存在经济相关性，即系统内各部件的状态劣化过程是独立的。那么从决策者的角度看，一方面要从部件的角度独立地权衡系统预防维修的成本与收益，同时应考量各部件组合维修的可能性，蒙特卡洛仿真方法能够有效地描述这种包含复杂的状态劣化与维修的随机过程[6-8]。

本文在“不完全维修”条件下，以多部件系统内单一部件状态维修阈值为决策变量，进行状态维修决策优化研究。因此，在有限周期内，以单位寿命费用最小为目标，对多部件系统内各部件的预防性维修阈值进行优化决策，以达到提高状态维修效益的目的。

1.1 多部件系统状态随机劣化过程

对于存在经济相关性的多部件系统，在不考虑维修的条件下，系统内各部件的状态劣化过程是随机且独立的。假设多部件系统内包含N个部件，且各部件的状态劣化过程都满足以下条件：

1)部件i(i=1,2,…,N)状态指标di(t)的值域是连续的；

2)部件i(i=1,2,…,N)状态指标di(t)被连续监测，监测时间和费用忽略不计；

6)部件i(i=1,2,…,N)随机失效，一旦发生失效则立即进行事后更换；

7)部件i(i=1,2,…,N)状态劣化以及失效相互独立，任一部件停机都将导致系统停机。

目前，研究者多采用gamma过程来描述部件状态劣化规律[9-12]，gamma过程假定系统的寿命过程是一个匀速状态劣化过程，实际上，疲劳裂纹等失效模式往往随时间呈现加速劣化趋势，gamma过程不适于描述此类劣化过程，因此需要建立适用的模型来描述此类状态劣化过程。对于传动轴、轴承等部件，疲劳裂纹等是导致其失效的主要故障模式，表征这类故障模式的状态指标通常不满足马氏性，对于系统内部件i，其未来状态与其当前状态直接相关，有

di(t)=(1+ξi)di(t-1)，ξ≥0，

(1)

式中:di(t)为部件i在t时刻的状态值；ξ为状态相对劣化速率；ξi为非负随机数。

由(1)式可知，di(t)是一个非减的随机劣化过程，图1所示为采用蒙特卡洛方法得到的di(t)随机劣化仿真结果。由图1可知部件i具有较明显的耗损期，适于采用状态维修策略。

图1 某部件的状态随机劣化过程Fig.1 Stochastic deteriorating process of a certain component

由于部件i在寿命周期内随机失效，因此随着仿真时间的推进，将时变的失效概率值与(0，1)分布的随机数进行序贯判别。随着di(t)的劣化，失效概率值相应增大，若未失效，表示状态正常，继续仿真；否则对装备进行事后更换。由于幂指数函数能够反映常见状态指标与故障风险之间的非线性映射关系，因此这里采用幂指数函数来构造失效概率函数Fi(x)：

(2)

图2所示为某部件失效概率函数，其中a=0.4，b=2.

图2 装备失效概率函数Fig.2 Failure reliability function of equipment

1.2 部件的不完全维修

根据装备维修实际可知，预防性维修通常无法将部件状态恢复到初始状态，而且维修效果往往受资源投入量、累计维修次数等因素的影响，因此假设：

(3)

(4)

假设某部件dm=16，μm=0.5和σm=0.5，则该部件预防性维修后状态概率分布函数如图3所示。

图3 预防性维修后状态概率分布函数(dm=16, μm=0.5，σm=0.5)Fig.3 Probability distribution function of equipment after preventive maintenance (dm=16, μm=0.5，σm=0.5)

由图3可知，预防性维修能够以96.19%的概率使装备修后状态保持在4以下。

(5)

图4所示为随预防性维修次数变化的修后状态概率密度分布曲线的示意图。

图4 随维修次数变化的修后状态概率密度分布函数Fig.4 Probability density function of condition determined by preventive maintenance times ( μmi，1=0.5，σm =0.5，ω=0.2)

如图4所示，随着预防性维修次数的累积，装备修后状态接近初始状态的概率将降低。

(6)

(7)

(8)

1.3 寿命周期维修费用

当预防性维修、预防性更换和事后更换所需的费用和时间依次递增时，预防性维修决策才是可行的，因此根据这一前提，对上述3类费用的组成成分进行划分。预防性维修的费用包括3个部分：资源费用、工时费用以及调试费用。其中，资源费用是指维修设备、器材、备件等的费用，资源费用越高部件维修效果通常也越好；工时费用是指维修人员的费用，维修所需时间越长，工时费用就越高；第3部分为调试费用，为了保证修后部件状态良好，需要进行状态调试，因此任何预防性维修和预防性更换都将产生调试费用。

任何故障或维修行为导致的停机，都将对系统的使用可用度造成不利影响，为了度量停机所造成的损失，在寿命周期费用中引入了停机损失费用。

多部件系统寿命周期费用的内容和定义为：

5)调试费用Cpms，在多部件系统内发生任意的预防性维修行为，都将产生调试费用Cpms，Cpms为定值，表示调试费用不受系统内被修部件的数量影响；

6)单位停机时间损失费用Cd，任何维修行为都将对系统可用度产生不利影响，Cd能够在决策目标中表示决策者对可用度的偏好程度。

2 预防性维修阈值仿真优化

2.1 状态随机劣化算法

(9)

式中：λi(λi>0)为常数；uU[0，1]；φi(0<φi<1)为常数。

由(9)式可知，状态指标保持不变的概率为φi，而λi即为ξi的最大取值。

2.2 装备状态随机劣化过程仿真

图5 部件状态随机劣化仿真过程Fig.5 Simulation of stochastic deteriorating process of components

图5中，在每个仿真时刻，各部件状态的随机劣化是相互独立的过程，仿真模型以部件状态为依据进行维修决策，实施维修和更新各部件的状态。部件维修耗时独立计算。在更新当前时刻后，对仿真结束条件进行判别，若达到预定周期，则结束仿真并输出结果，否则继续仿真。

在仿真过程中，不同的维修行为将产生不同的费用，仿真程序在更新系统内部件状态的同时更新相应的维修费用。根据1.3节提出的关于费用假设，单步仿真费用计算流程如图6所示。

图6 单步仿真费用Fig.6 Expenses within one simulation step

在图6中，在单步仿真过程中，首先依据部件状态分别计算各部件的维修费用，然后对部件维修进行或运算，确定系统内是否有预防性维修，计算系统级费用。

2.3 状态维修决策阈值优化流程

图7所示为预防性维修阈值的优化流程，根据决策者对费用的敏感程度，可以通过设定费用优化精度确定寻优终止条件，当最优与次最优费用差满足精度要求时，即可结束寻优，输出预防性维修阈值的最优值。

图7 预防性维修阈值的优化流程Fig.7 Optimization process of preventive maintenance threshold

3 案例分析

表1所示为部件1状态劣化过程的相关参数。表2所示为部件1的维修决策费用参数。

表1 部件1状态劣化过程相关参数Tab.1 Parameters related to the deteriorating process of condition

表2 部件1维修决策费用参数Tab.2 Expenditure parameters for maintenance decision-making of Part 1

为了便于分析，假定部件2与部件1其他参数相同，只有随机劣化概率φ和费用参数存在差别。表3所示为部件2与部件1存在差异的参数。

表3 部件2与部件1存在差异的参数Tab.3 Parameters of Part 2 and Part 1

由表3可知，与部件1相比，部件2的劣化速度更慢，但预防性维修、预防性更换和事后更换费用等都相对更高。

图8 两部件系统的单位时间费用等高曲线(S=1)Fig.8 Average cost contour plot of system with two components(S=1)

图9 两部件系统的平均费用等高曲线(S=0.5)Fig.9 Average cost contour plot of system with two components(S=0.5)

表4 两部件系统的平均费用Tab.4 Average expenditure of system with two components

在仿真过程中，按照维修类型统计两部件的费用构成，得到的数据如表5所示。

表5 两部件系统的费用构成Tab.5 Detailed expenditure composition of system with two components

由表5可知，两部件系统在多次仿真过程中都未实施预防性更换，表明从费用角度看，预防性维修的经济效益要明显好于预防性更换。同时，虽然部件2的劣化速度相对较慢，但由于该部件事后更换费用更高，因此部件2的预防性维修阈值相对更小，导致该部件在系统总费用中所占比重反而较小。

为了验证本文提出方法的有效性，在不考虑预防性维修的条件下，对两部件系统的状态劣化过程进行仿真，得到的仿真结果表6所示。

如表6所示，采用本文优化得到的预防性维修阈值进行维修，可以将更换周期平均费用从221.670 7降低到141.641 2，降幅高达36.10%，同时可以将寿命周期内的装备可用度从无预防性维修条件下的91.57%提高到95.81%，系统失效停机次数从2.172 1降低到了0.659 5. 因此，从经济性、任务性和安全性的相关指标看，本文提出的预防性维修阈值优化方法都是适用且有效的。

表6 不同维修策略下两部件系统仿真结果Tab.6 Simulated results system with two components given different maintenance strategies

4 结论

状态维修对提高装备战备完好性、降低寿命周期费用，防止重大事故发生起着重要的作用。对于复杂的多部件装备系统来说，从整体费用的角度出发对部件预防维修阈值进行优化，将有助于控制系统的整体风险，使决策对整体系统来说达到最优。

本文在建立部件状态劣化过程模型的基础上，将有限周期内，部件“不完全维修”效果与维修次数之间的关系进行了显示的函数表达，有利于更真实地表示和评价预防性维修行为对部件以及系统的影响。

采用蒙特卡洛仿真方法建立的多部件系统整体劣化模型能够较好地反映系统内部件的独立劣化过程以及“不完全维修”的随机性，有效地避免了解析求解容易引起的维度爆炸问题。案例分析结果也表明，在有限周期内单位寿命费用最小的决策优化目标下，采用仿真方法确定的最优预防性维修阈值是适用且有效的。

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Optimal Condition-based Maintenance Decision-making Method of Multi-component System Based on Simulation

WANG Shao-hua1, ZHANG Yao-hui1, XU Long-yang1, LIU Hong-xiang2

(1.Department of Technology Support Engineering, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China; 2.Department of Science Research, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China)

To promote the maintenance benefit by combined maintenance, for multi-component systems subjected to condition-based maintenance each component is supposed to endure independent gradual deterioration, and a stochastic deteriorate model is established. The exponential function is applied to set up the reliability functions taking condition parameters as variables. In consideration of imperfect maintenance and probability distribution of maintenance time, a Monte Carlo-based condition deteriorating simulation model of multi-component system is proposed. TA preventive maintenance threshold optimization model is constructed by taking the expected expenses per unit time as the optimization objective, and is verified by a case study.

ordnance science and technology; condition-based maintenance； imperfect maintenance； Monte Carlo simulation； optimal decision-making

2016-05-13

军队科研计划项目(51327020303)

王少华(1986—)，男，讲师，博士。E-mail:aafe77330@163.com

E92

A

1000-1093(2017)03-0568-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.03.021