覃 茜, 李庆奎

(山西大学 数学科学学院， 山西 太原 030006)

多智能体系统在切换拓扑和时变时延下的H∞一致性

覃 茜, 李庆奎*

(山西大学 数学科学学院， 山西 太原 030006)

研究了离散时间多智能体系统在切换拓扑和时变时延下的H∞一致性问题.考虑存在节点在一定时间内失联且通讯可以恢复的情形，利用切换拓扑描述智能体间通讯链路的变化，并在有界时变时延和外部干扰下，将多智能体系统的H∞一致性问题转化为切换H∞控制问题.提出一个仅基于智能体与其邻居状态信息的分布式一致性协议.基于此协议，在平均驻留时间切换机制下给出使得多智能体系统达到H∞一致性的充分条件.最后利用一个仿真例子验证所提方法的有效性.

多智能体系统； 切换拓扑； 平均驻留时间；H∞一致性

0 引言

近几十年来，多智能体系统因其在诸多领域的广泛应用而吸引了来自国内外学者的关注，例如无人机的编队飞行[1]，车辆编队控制[2]，多机器人的协同控制[3]，分布式传感器网络[4]等.一致性是多智能体系统中的一个典型问题，其主要研究如何设计分布式协议，使得所有智能体仅通过交换局部的状态信息，最终达到一共同的状态.一般地，将多智能体系统转化为相应的误差系统，其中误差是每个智能体的状态与最终一致状态间的偏差，从而多智能体系统的一致性问题就转变为误差系统的稳定性问题[5].

在实际中，由于天气，环境，自然灾害(比如地震，暴雨雪)等因素，可能会导致智能体间通信链路的中断，使得在某段时间内通信拓扑中可能会有孤立节点的存在，即某一智能体与其所有邻居失去联系.切换拓扑可用来刻画通信链路的中断和恢复，并且带有切换拓扑的多智能体一致性已取得一定的成果[6,7].文献[6]研究了速度约束的多智能体系统一致性，其假设并图在每个时间区间都包含有向生成树，但子拓扑的情况不明确.文献[7]在分析带有切换拓扑的一致性时则要求子拓扑是强连通的.虽然多智能体系统在切换拓扑下的一致性问题已被研究，但是鲜有针对节点失联情形的一致性问题的探讨，因此有必要对该问题展开讨论.

通信拓扑的连通性对多智能体系统能否达到一致性至关重要，拓扑存在孤立点时是不连通的，这意味着多智能体系统在某些时间段内不能达到一致性，相应地，切换误差系统包含有不可镇定的子系统；由切换系统理论可知若不可镇定子系统运行的总时间足够小的话，整个切换系统还可以是稳定的[8].因此，设计合适的切换律使得系统在存在孤立点的情况下达到一致性是我们研究的另一个目的.

此外，智能体间的信息交换是以网络为媒介的，在网络环境下时延和外部干扰的存在不可避免，因此研究带有时变时延和扰动的多智能体系统的一致性更加符合实际.基于此，本文研究了在时延和外部干扰下，多智能体系统在某些时间段内存在孤立节点的一致性，通过设计合适的一致性协议和切换律使其在包含不可一致子系统时依然能够达到一致性；最后利用一个仿真例子验证所提方法的有效性.

1 预备知识和建模

1.1 图论

将每个智能体看作一个节点，用图G={V,E,A} 来建构智能体间的通信拓扑，其中V={1,…,N}是N个智能体的集合，可被视作图G的顶点集,i表示第i个智能体.边集E⊂V×V且(j,i)∈E当且仅当i可向j发送信息，此时称j是i的邻居.i的邻居节点集用Ni={j|j∈V,(j,i)∈E} 表示.若一个节点既没有邻居,同时又不是任何节点的邻居，就称其为一个孤立点.节点i1与ik间的一条有向路径是一组以i1开始，ik结束的首尾相接的边(i1,i2),(i2,i3)，…,(ik-1,ik)∈E,若至少存在一个节点与其他任意节点间都有一条有向路径，则称该图包含一个有向生成树.用A=[αij]∈RN×N表示图G的加权邻接矩阵，且αij=1当且仅当(j,i)∈E，否则αij=0.在本文中我们假设没有自环存在，即αii=0.图G的拉普拉斯矩阵L=[lij]∈RN×N定义为

(1)

本文考虑了在某些时间段内有且只有一个节点与其他节点失去联系,并随后恢复通信，换句话说就是在短时间内通信拓扑中会存在一个孤立点.注意该孤立点不是固定的某一节点，会随时间而变动，这意味着通信拓扑是随时间变化的.用Gσ(k)表示时变的拓扑，其中σ:[0,∞)→M={0,1,…,N} 是切换信号，且σ(k)=m(m=1,…,N) 表示第m个智能体是孤立点，而σ(k)=0 表示在k时刻拓扑中没有孤立点存在.图集{Gσ(k):k∈[0,∞)}的并图用Gun表示，其节点和边分别是图集中图节点和边的并.我们给出下面的假设以进行下面的讨论.

假设1 图Gun包含一个生成树.

1.2 建模

考虑由N个智能体组成的多智能体系统，第i个智能体的动力学可描述为

xi(k+1)=Axi(k)+Bui(k)+ωi(k)

(2)

其中xi(k)∈Rn和ui(k)∈Rm分别是第i个智能体的状态与控制输入；ωi(k)=[0,…,0,ωin(k)]∈Rn是作用在i上的干扰；矩阵A和B为合适维数的常矩阵.

m

(3)

在切换拓扑下，对σ(k)=h,h∈M={0,1,…,N}，分布式一致性协议给出如下

(4)

其中Kh是一个公共的分布式一致性增益；时变时延τ(k) 满足0<τ1≤τ(k)≤τ2.

定义1[9]系统(2)在协议(3)下达到了一致性，若对任意的初始条件xi(0)∈Rn有下式成立：

(5)

(6)

且y(k)是被控输出.显然，误差系统(6)的稳定性意味着多智能体系统(2)的一致性.

2 一致性分析

本文的研究目的是设计合适的一致性协议和切换律使得多智能体系统(2)达到一致性.首先给出下面的定义.

定义2[10]称多智能体系统(2)达到了H∞一致性,若误差系统(6)满足

(1)在ω(k)=0时是指数稳定的，即

‖δ(k)‖≤ρe-λ(k-k0)‖δ(k0)‖；

(2)在零初始条件下，输出y(k)对任意的ω(k)∈l2[0,∞)满足

引理1[11]对任意的实矩阵W=WT>0和正标量r2≥r1≥0，下面的不等式成立

对相应于没有孤立点和带有一个孤立点情形的误差系统，我们分别给出下面两个重要的引理.

定义李雅普诺夫函数为

其中

η(s)=δ(s+1)-δ(s),τ12=τ2-τ1.

首先考虑没有孤立点的情形，即当σ(k)=0时，误差系统(6)描述为

(7)

选取李雅普诺夫函数

(8)

然后我们有下面的引理.

(9)

那么沿系统(7)的轨迹有下式成立

其中Γ(s)=δT(s)δ(s)-γ2ωT(s)ω(s)

φ0=[IN⊗A,-L0⊗BK0,0,0,Bo]

证明：令ξ(k)=[δT(k),δT(k-τ(k)),δT(k-τ1) ,δT(k-τ2),ωT(k)]T,通过计算容易得到

V0(k+1)-e-αV0(k)=

(10)

Θ1=diag{-e-αP0,0,0,0,0} ；

(11)

结合引理1有

(12)

令γ=diag{I,0,0,0,-γ2I}，则Γ(s)可改写为

Γ(s)=ξT(s)γξ(s)

(13)

联合(10)～(12)以及(13)，并令Ξ0=Θ1+Θ2+Θ3+γ有

V0(k+1)-e-αV0(k)+Γ(k)≤

显然，利用Schur补引理可知(9)保证了

V0(k+1)-e-αV0(k)+Γ(k)≤0

递推可得

V0(k)≤e-αV0(k-1)-Γ(k-1)≤…≤

接下来考虑有节点失联情形，即σ(k)=j(j=1,…,N)时，系统为

(14)

此时选取李雅普诺夫函数

(15)

然后给出下面的引理.

(16)

那么沿系统(14)有

其中Γ(s)=δT(s)δ(s)-γ2ωT(s)ω(s)

φj=[IN⊗A,-Lj⊗BKj,0,0,Bo]

证明：类似于引理2证明故而省略.

对一时间序列0=k0

定义3[12]对任意的T2>T1≥0,Nσ(T1,T2)表示在(T1,T2)内的切换次数；若对Ta>0和N0≥0有Nσ(T1,T2)≤N0+(T2-T1)/Ta，那么Ta称为平均驻留时间，N0称为抖振界.不失一般性N0选为0.

(17)

(18)

就称多智能体系统(2)达到了一致性且具有H∞性能水平γ，其中μ≥1且满足

(19)

证明：当ω(k)=0时，根据(19)有

V0(k)≤μVj(k),Vj(k)≤μμ′V0(k)(j=1,…,N)

由引理2-3可得

进而递推得到

V(k)≤Vj(k2l+1)eβ(k-k2l+1)≤

μμ′V0(k2l)e-α(k2l+1-k2l)eβ(k-k2l+1)≤…≤

μNσ(k0,k)μ′N+(k0,k)V0(k0)e-α(k-k0-T+(k0,k))+βT+(k0,k)

注意N+(k0,k)≤(Nσ(k0,k)+1)/2并根据切换条件(17)和(18)可得

由(8)和(15)有下面的不等式成立

V(k)≥a‖δ(k)‖2,V0(k0)≤b‖δ(k0)‖2

其中

因此

当ω(k)≠0时，由引理2～3可得

递推得到

(20)

在零初始条件下，由(20)可得

不等式两边同时从0到∞作和可得

这意味着误差系统(6)在切换条件(17)和(18)下是指数稳定的并具有H∞性能水平γ，从而多智能体系统(2)达到了一致性.

3 仿真

考虑一个由3个智能体组成的多智能体系统，第i(i=1,2,3)个智能体的动力学为

ui(k)+ωi(k).

图1给出了3个智能体间可能的交互拓扑，且相应的拉普拉斯矩阵如上式所示.其余系统参数给定如下：

基于上述参数，通过Schur补引理和合适的合同变换，利用MATLAB中的LMI和yalmip工具箱求解可得一致性增益

K0=[0.010 8 0.009 3]

K1=[-0.003 9 0.004 0]

K2=[-0.004 0 0.004 0]

K3=[-0.004 0 0.004 2]

图1 拓扑结构

计算得到T*=8.82，因此选取Tα=13.0和f+=0.11，则满足条件(17)和(18)的切换信号在图2中给出.

图2 切换信号

系统初始状态为x1(0)=[5;6]T,x2(0)=[2;3]T,x3(0)=[-5;-3]T,图3的(a)和(b)展示了误差系统的状态变化.显然由图3可看出,多智能体系统(2)达到了一致性，验证了所提方法的有效性.

(a)误差δi1的状态响应

(b)误差δi2的状态响应图3 误差系统的状态响应

4 结论

本文研究了多智能体系统在时延和外部干扰下的H∞一致性.对于存在节点失联的情形，利用切换拓扑描述通讯的中断与恢复，并设计合适的分布式一致性协议和基于平均驻留时间机制的切换律，使得整个多智能体系统在包含有不可一致的子系统时最终仍能达到一致性.随机时延与随机切换是更加贴近实际的，可作为未来的研究方向.

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【责任编辑：陈 佳】

H∞consensus for multi-agent systems with switching topologies and time-varying delays

TAN Xi， LI Qing-kui*

(School of Mathematical Sciences, Shanxi University, Taiyuan 030006, China)

We investigate the problem ofH∞consensus for the multi-agent systems with switching topologies and time-varying delays.Consider the case that there exists an unspecified node loses connection with others in some time periods and the communication links can be restored,switching topologies are used to construct the communication among agents,and in the presence of bounded time-varying delays and external disturbance,theH∞consensus problem can be transformed into a switchedH∞control problem.Then a distributed consensus protocol based on the state information of the agent and its neighbors is proposed to achieve theH∞consensus.Based on this protocol,sufficient conditions are proposed under an average dwell time switching scheme such that the whole multi-agent system reaches theH∞consensus.Lastly,a simulation example is presented to verify the effectiveness of the proposed methods.

multi-agent system； switching topologies； average dwell time；H∞consensus

2016-12-28 基金项目：国家自然科学基金项目(6157020879)； 山西省回国留学人员科研资助项目(2015-017)

覃 茜(1991-)，女，山西吕梁人，在读硕士研究生，研究方向：切换时滞系统、网络控制系统

李庆奎(1971-)，男，山东郯城人，副教授，博士，研究方向：切换时滞系统、网络控制系统，sdlqk01@sxu.edu.cn

1000-5811(2017)02-0183-06

TP13

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