设计/周晓辉 解读/孙惠惠

一、初识倍数关系

教师出示主题图，让学生观察“从图中获得了哪些数学信息”。然后引导学生聚焦“黑兔有2只，白兔有4只”这两条信息并提出问题。最后说明“两个数量之间除了比多、比少这样的相差关系外，还有着另一种关系，倍的关系。（板书课题）

【解读：主题图中有四条信息，教师引导学生针对其中两条信息提出问题，直入主题减少不必要的干扰。】

二、认识“2倍关系”

1.描述中初识2倍关系。

教师提问：如果我们把2只黑兔看作1份，白兔有这样的几份？

预设：两份。

师：像这样我们就说白兔的数量是黑兔的2倍。我们是怎么看出来的呢？

预设：把黑兔看成一份，白兔有这样的两份，白兔的数量是黑兔的2倍。

教师出示下图。问：如果我们用3个红圆表示萝卜，青菜该怎么表示呢？

预设：用6个绿圆表示青菜的数量。

师：把3个红圆看作一份，绿圆的数量是红圆的几倍，你能来圈一圈、说一说吗？

预设：把3个红圆看成一份，绿圆的数量有这样的2份，绿圆的数量是红圆的2倍。

【解读：教师呈现两组素材，从实物到抽象图形，学生通过圈一圈份数，说一说2倍关系的形成过程，初步建立“把某个数量看成一份，另一个数量里有这样的几份就是它的几倍”的概念。这样切入教学，紧扣学生的认知起点，有利于学生利用旧知识构建新概念。】

2.对比中抽象“2倍关系”模型。

师：我们一起研究后发现，白兔的只数是黑兔的2倍，绿圆的数量是红圆的2倍。这些图中的形状、个数都不一样，但为什么我们都说第二行的个数是第一行的2倍呢？

教师小结：无论第一行摆几个，只要把它看成一份，第二行摆这样的两份,也就是有2个几，我们就可以说第二行的数量是第一行的2倍。

3.想象中拓展“2倍关系”模型。

师：如果第一行摆5只蜗牛，第二行该怎么摆？

预设：如果第一行摆5只蜗牛，那么第二行摆10只蜗牛，摆2个5只。

【解读：教师通过回顾学习过程，将两组“2倍关系”的素材一一呈现，然后进行对比。通过对比，引导学生发现“2倍关系”的本质，抽象出2倍关系的模型。通过想象模型中每一份的数量，让学生体会到标准量的数量可以是多种情况，这样既帮助学生建立起了“2倍关系”的基本模型，又丰富了模型的内涵。】

三、认识“几倍关系”

1.猜想中初步建立“几倍关系”表象。

师：如果第二行再增加同样多的一份，第二行是第一行的几倍？再增加一份呢？第二行有5个这样的圈呢？

2.在操作中表征“几倍关系”图式。

师：同学们想不想动手摆一摆？和你的同桌商量一下你们打算摆几倍关系？

教师出示操作要求：

（1）摆两行，能清楚看出其中一行是另一行的几倍。

（2）摆完后同桌说一说：（）的数量是（）的___倍。

预设：学生对几倍的表征各种各样。从图式的形式上来说，可能是“倍数关系”的基本图式，也可能是基本图式的变式（如下图）。从“倍数关系”来说可能会摆出“一个数量是另一个数量的任何倍”。

3.交流中理解“几倍关系”的含义。

（1）以小组为单位介绍基本的3倍、4倍模型图。（见下图）

师：请说一说你们摆的是几倍关系？是怎么想的？

生：把两个绿圆看成一份，黄圆的数量有这样的3份，黄圆的数量是绿圆的3倍。

（4倍关系的解说略）

（2）集体解读“几倍关系”变式图。

师：你们还能判断出下图他们之间的倍数关系吗？（根据学生的回答引导：重点突出圈一圈的办法能够帮助我们看清倍数关系）

【解读：学生在“摆几倍关系”的活动中，将自己头脑中对“倍数关系”的表征“摆”出来。教师再根据学生摆的结果，引导学生从“基本的倍数关系模型”到“模型的变式”逐层解读，既把“倍”的认识从“2倍关系”扩展到“几倍关系”，又丰富了学生头脑中倍数关系的表征。】

4.沟通中明确“倍数模型”和“乘法模型”的关系。

师：我们已经摆出了那么多“倍数关系”，让我们从数量上仔细观察，如果一份是2，以2个为标准去数一数，第二行是几个几呢？

预设：3个2（板书：3个2，是2的3倍）

完成板书如下：

师：这幅作品你能从数量上来介绍吗？

预设：第一行摆2个，第二行摆这样的4份，就是4个2，所以第二行的数量是第一行的4倍。（板书：4个2，2的4倍。）

【解读：学生对“几倍关系”的理解停留在“份数”模型上，即“把一个数量看成一份，另一个数量里面有这样的几份，就是它的几倍”。通过引导学生从“数量”上观察所有的“倍数关系”图式，发现以a为标准去数，刚刚圈出几份，就有几个a，也就是a的几倍。将“几倍关系”从具体的图式表征抽象到数字符号表征，而且将“倍”的意义由“份数”模型过渡到“几个几”的乘法模型。】

5.对比中抽象“3倍关系”的模型。

师：刚才我们通过摆一摆、圈一圈已经发现了这几位同学摆的都是3倍关系，怎么摆就能摆出两行之间的3倍关系呢？

教师总结：先摆一份，再摆这样的3份，也就是摆3个几，就能摆出两行之间的3倍关系。

【解读：将“3倍关系”的图式一并呈现，通过对比发现“3倍关系”的本质属性。】

6.游戏中巩固“乘法模型”与“倍数模型”的联系。

（1）猜一猜游戏。教师描述学生摆：第一行摆2个，第二行摆4个2，学生猜一猜谁是谁的几倍，并圈一圈进行验证。

（2）拍手游戏。要求：教师拍4下，请学生拍的数量是教师的两倍，并说一说怎么听出来拍的数量是教师的2倍。

【解读：通过两个游戏，让学生“听描述”想“几倍关系”的表征形式，促进学生能脱离“几份”模型直接由“几个几”想到“几倍关系”。】

7.对比中抽象“倍数关系”模型。

师：刚才我们通过游戏已经认识了一个数量是另一个数量的几倍，只要怎么摆就一定能摆出一行是另一行的几倍呢？

预设：我们只要先确定一行的数量，把它看成一份，另一行摆几个这样的数量，也就是摆几个几，就能摆出另一行是这一行的几倍了。

【解读：引导学生对比“几倍关系”的图式，借助对“2倍关系”和“3倍关系”本质属性的理解，抽象出“几倍关系”的本质属性，从而完成对“倍”的意义完整的建构。】

四、分层练习中凸显“标准量”的重要性

1.填一填：教师出示上图，学生尝试填，发现无法表示倍数关系，体会到“倍是两个数量之间的关系”。

2.画一画：先猜三角形可能是几个，然后请学生画出自己猜的个数。

3.比一比：集体反馈教师引导学生观察4种情况（三角形为1个、2个、3个和6个），体会同样都是6个圆，标准量不同倍数也会发生变化。

4.辨一辨：教师出示学生的两个错例。第一个错例是画错标准量的，通过辨析使学生清楚，标准量必须是6的因数；第二个错例是把圆的数量当成标准量的，通过辨析学生感悟到“找倍数关系的时候，一定要找准谁和谁比，把谁看成标准。

5.拓展到三个量进行比较。

教师在上一题的基础上添加一行长方形，让学生从中找一找谁是谁的几倍。

【解读：通过“填”“画”“比”“辨”四个活动，让学生体会到“倍”描述的是两种数量之间的关系，感悟到“比较量相同的时候，标准量不同，倍数也会不同”，明白“把谁看成标准量”的重要性。习题设计层次性强，涵盖学生易错点，学生在不断修正错误中感悟描述“倍数关系”的注意点。】

五、课堂小结

今天研究的是两个数之间的另一种关系，我们把一个数量看成一份，另一个数量有几个几，我们就可以说，另一个数量是它的几倍。

【解读：1.操作中外显思维，丰富学生头脑中“倍”的表象。操作、展示等活动，都能让学生将自己的思维得以展现。本课在认识“2倍关系”之后，教师安排了“摆几倍关系”的操作活动。通过“摆”这一操作活动，让学生将自己头脑中“几倍关系”的表征外显在纸上。从教学设计中可以看到，学生摆的关于“几倍关系”的表征，涵盖了“倍数关系”的基本图式和变化图式。丰富的可视化表征有助于学生打破思维定势，完整地建构“倍”的直观模型和意义，也为后面继续学习“一个数的几倍是多少”等问题打好基础。

2.在对比中建构、逐步抽象出“倍”的概念本质。“对比”是一种很好的揭示概念属性的方法。本节课，为了引导学生主动建构“倍”的意义，周老师在四个地方有效运用了这一方法。三次对比分别是“2倍关系图式对比”“3倍关系图式对比”和“几倍关系图式对比”，学生从“初步感知有这样的2份就是几的2倍”到认识“3份就是3个几，就是几的3倍”再到明白“几个几就是几的几倍”，逐步抽象出“确定一个数量为标准，另一个数量里有几个几，就是它的几倍”，也就是“倍”的本质属性。这个过程中，学生思维的抽象程度越来越高，要求也越来越高。第四次对比，在“分层练习画标准量”之后，通过对学生所有作品的对比，学生感悟到“标准量变化引起倍数变化”，对“倍”的概念作了有益补充。】

（本文作者系朱乐平数学名师工作站“一课研究”组成员）