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中学数学解方程教学中的化归思想方法探讨

2017-03-29杨华

东方教育 2016年24期
关键词:解方程化归思想中学数学

杨华

摘要:加强数学思想方法的教学是基础数学教育现代化的关键,而化归思想方法作为中学数学中一种非常重要的和基本的思想方法,其教学就显得尤为重要。本文以解方程为例论述了化归思想方法在中学数学教学中的应用,以此说明其对促进数学课程改革的不断深入,提高数学课堂教学质量,提高学生学习效率,提高中学数学教师的专业素质均有重要意义。

关键词:中学数学;解方程;化归思想

引言:化归思想是中学数学中的重要思想方法之一,所谓化归就是把待解问题化解开来,归结为一个或几个解决了的问题,或简单易解的问题。学生在学习过程中只要能够掌握化归思想方法的核心并能够自如地运用,在解题过程中就能够很好的利用这种方法并逐渐建立学生的解题信心,这对于学习者来说是一个非常重要的提高过程,鉴于此,中学数学教学者必须加强对于化归思想的教授,以此充分提高学生学习数学的兴趣。

1.中学阶段教学化归思想方法的可行性

1.1 知识因素

数学方法得以运用的前提是数学知识的铺垫,只有有了数学知识作为基础,才能让数学思想有用武之地。在小学阶段,学生已经对于一些基本的数学知识有所了解,换句话说学生通过小学数学的学习已经有了一定的数学基础,这就为中学阶段的继续学习做好了准备。

1.2 教材因素

中学数学教材中有很多内容都与化归思想有关,这在很大程度上可以更深一步的帮助化归思想的教授,同时教材中有很多例题的选定,解题思路都与化归思想方法有一定的联系,这就为化归思想的多角度、分层次、深入的教学提供了各种案例。

2.化归思想的分析要点研究

中学数学上运用的化归思想具有丰富性、多样性和灵活性的特点。对于数学试题来说,往往都要由几个要素构成,并且各要素之间都是具有一定关联性的,它们相互联系、相互依存、相辅相成,它们之间的联系是可以转化的,并且转化的形式多样。针对数学问题的转换方法没有什么标准模式可以遵循,为此,在解题的过程中要认真分析问题,因题而异,寻找恰当的解决方法。一般来说,运用化归思想解题,分析要点为:注意紧盯化归目标,保证化归的有效性、规范性;注意转化的等价性,保证逻辑上的正确;注意转化的多样性,设计合理的转化方案.在具体的问题处理中,往往会采取多种转化途径和方法以解决问题。

3.用化归思想解方程的具体应用

3.1化主为客

把题目中的待求量看作已知量,把某个已知量看作待求量,变换角度,使问题变得简捷易解。

例1 解方程

解:设=

则原方程可化为

解关于的方程得,或

从而或

例2 设Z是虚数,W=Z+是实数,且-1

解:设Z=,= ,,∈且≠0)

代入Z·=1得,且

即且,从而|Z|=1,-<<1

3.2化整为分

把整式方程化为分式方程来解,有时会起到意想不到的作用。

例3 解方程

解:原方程可化为

设,则

于是原方程变为

解得,或=-6

从而原方程的解为

3.3化正为反

有些问题正面考虑不易解决,但若从其反面考虑,便会迎刃而解。

例4 解不等式≥8-

解:设全集≥≥5或≤

先解不等式<8-

易得其解集为≤-2或5≤<

从而原不等式的解集为≥

3.4化零为整

从整体上考虑命题中的数量关系,分析命题中整体与局部的关系,找出规律,解决问题。

例5 已知,求的值。

解:由知,,从而 ==

3.5化数为形

“数”和“形”是共存于同一体中的事物的两个侧面,通过图形架设与数量间的桥梁,使问题获得简单。

例6 求函数的最大值

解:将原函数配方得,,则原题可看作是求点,到点(-1,5)与(3,2)的距离之差的最大值,如图易知,当点在直线AB与轴的交点位置时,最大,最大值是,故。

3.6化无限为有限

数学中的无限问题,通常都可化为有限问题来解决,用有限认识无限是认识上的一个飞跃。

例7 无穷数列,,,…,,…<1,求它的各项和

解:设它的前项和为,则=,,+…+=,从而它的各项和 =()=<1

3.7化一般为特殊

对于某些一般性的数学问题,有时可考虑其特殊情况,通过解決特殊发问的方法或结果,使问题得以解决。

例8 已知等差数列的公差≠0,且,,,成等比数列,

则=________________。

解:取一个满足已知条件的特殊等差数列,≠0,且=1,=3,=9成等比数列,则= 。

3.8化抽象为具体

有些命题的表达形式较为抽象,直接探索显得困难,但是构造一个表达形式具体通俗,且与原命题等价的新命题,往往会使问题迅速获解。

例9 设,是两个实数,,,,,,,,,,≤144是平面内点的集合,讨论是否存在和使得(1);(,)C同时成立?

解:原命题可化为:关于,的混合组,≤144,是否有实数解,假设存在实数和满足上述混合组,

则≤≤·144,由此可得,≤0,即有:,与矛盾,故不存在实数和,使得(1)和(2)同时成立。

3.9化综合为单一

有些综合题,涉及知识面广,运用方法灵活,不是能单纯用一个概念、一种方法来解决的,这时我们可将其化为几个单一的简单题来解。

例10 设实系数一元二次方程有两个虚根,,在复平面内的对应点是,Q,求以,Q为焦点且经过原点的椭圆的长轴长。

解:(1)方程问题:因为方程有两个虚要,,从而<0,即>>0

(2)复数问题:因为,是互为共扼虚数,从而||=||,||=||=||=,且||=||,||=||

(3)解几问题:由椭圆定义得,长轴长2||+||= ||+||

综合(1),(2),(3)得,2

结束语

数学思想方法贯穿于整个中学数学教学的过程中,要使学生把数学思想方法内化为自己的观点、知识,并应用它去解决问题,就要求教师把每章节所表现出来的数学思想方法及时归纳总结出来,有目的、有步骤地引导学生参与数学思想方法的提炼和概括过程。以上列举了十种化归的思想和方法,但从中可以发现其思路清晰,步骤简捷明快,趣味横生,因此在学习过程中应有意识地培养自己的化归思想,从而提高解题能力。

参考文献:

[1]郭春玲.浅谈新课程理念下的数学备课[J].中国科教创新导刊. 2009(03)

[2]王波涛.浅谈终身教育与教师终身学习[J].现代企业教育. 2008(24)

[3]韦显杰.浅谈数学解题中的化归思想[J].甘肃教育. 2008(09)

[4]高绍强.化归思想在初中数学教学中的渗透与应用[J].科教文汇(中旬刊). 2008(04)

[5]姚玉菊.数学化归思想的研究与实现[J].中国成人教育.2008(06)

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