刘庆辉

【摘要】本文通过“降阶法”研究了三阶非齐次欧拉方程的求解问题，给出了通解的积分形式，并通过具体例题来说明求解的方法和步骤.

【关键词】欧拉方程；降阶法；特征方程；特征值

【基金项目】2015年唐山师范学院教育教学改革研究项目——《常微分方程》课程教学改革的研究与实践（2015001018）.

欧拉方程是一类很重要的变系数微分方程，对于它的求解一直是研究的重点.可以发现，对于非齐次欧拉方程的求解主要有两种方法，但计算步骤较烦琐，而且计算量也很大，本文以三阶非齐次欧拉方程为例，通过对未知函数进行合适的变换，进而降低方程的阶数，并得到其通解的积分形式，而且此方法可以推广到更高阶的非齐次欧拉方程.

定义1形如

x3y+ax2y″+bxy′+cy=f（x）（1）

的方程称为三阶非齐次欧拉方程，其中a，b，c∈R，f（x）是连续函数.

定义2形如

x3y+ax2y″+bxy′+cy=0（2）

的方程称为三阶齐次欧拉方程，且方程（2）称为对应于方程（1）的齐次欧拉方程.通过对比可以发现，当方程（1）中的自由项f（x）≡0时，便为方程（2）.

定义3称方程

k（k-1）（k-2）+ak（k-1）+bk+c=0（3）

为方程（2）的特征方程，方程（3）的根称为方程（2）的特征根.方程（2）的特征根对应它的某个特解.

定理1若在方程（1）中c=0，且k1，k2满足方程：k（k-1）+ak+b=0，則方程（1）的通解为

y=∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-2f（x）dxdxdx，

其中通解中的三个相互独立的常数包含在三个不定积分中.

证明当c=0时，方程（1）变为

x3y+ax2y″+bxy′=f（x），

上式为可降阶的三阶方程，做函数变换，令z=y′，则上述方程等价于

x2z″+axz′+bz=x-1f（x），（4）

方程（4）的通解为z=xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-2f（x）dxdx，

因此，方程（1）的通解为

y=∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-2f（x）dxdxdx，

其中通解中的三个相互独立的常数包含在三个不定积分中.

定理2若在方程（1）中c≠0且y0（x）=xk0是满足方程（2）的非零实特解，k1，k2满足方程k（k-1）+（3k0+a）k+[3k20+（2a-3）k0+b]=0，则方程（1）的通解为

y=xk0∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-k0-2f（x）dxdxdx，

其中通解中的三个相互独立的常数包含在三个不定积分中.

证明因为y0（x）=xk0是方程（1）的非零特解，做函数变换y=xk0∫udx，并代入方程（1）中，整理后可得：

x2u″+（3k0+a）xu′+[3k20+（2a-3）k0+b]u=x-k0-1f（x），

显然方程（1）降低一阶，且上式为关于u的二阶非齐次欧拉方程，结合已知条件与定理1的证明可知，

u=xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-k0-2f（x）dxdx，

即方程（1）的通解为：

y=xk0∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-k0-2f（x）dxdxdx，

其中通解中的三个相互独立的常数包含在三个不定积分中.

下面通过具体例题来说明如何利用定理1和定理2来求解非齐次欧拉方程.

例1求方程x3y-x2y″+2xy′-2y=2x3的通解.

解显然，y=x是对应的齐次欧拉方程的非零实特解，即k0=1，将各系数代入

k（k-1）+（3k0+a）k+[3k20+（2a-3）k0+b]=0，

得到k（k-1）+2k=0，

解得k1=0，k2=-1，又f（x）=2x3，则根据定理2，原方程的通解为y=x∫xk1∫xk2-k1-1∫x-k2-3f（x）dxdxdx=

x12x2-c1ln|x|+c2x+c3.

例2求方程x3y+2xy′-2x=x（x>0）的通解.

解显然，y=x是对应的齐次欧拉方程的非零实特解，即k0=1，将各系数代入

k（k-1）+（3k0+a）k+[3k20+（2a-3）k0+b]=0，

解得k1=-1+i，k2=-1-i，又f（x）=x，则由定理2，原方程的通解为

y=xk0k2-k1∫xk2∫x-k2-k0-2f（x）dx-xk1∫x-k1-k0-2f（x）dxdx，（5）

再根据欧拉公式eα+iβ=eα（cosβ+isinβ），得到

xk2=x-1+i=x-1[cos（lnx）+isin（lnx）]，

xk3=x-1-i=x-1[cos（lnx）-isin（lnx）]，

并将其代入（5）式中，则原方程的通解为

y=x（lnx-c1cos（lnx）+c2sin（lnx）+c3）.