☉江苏省灌云高级中学 徐静

细致观察，大胆探究
——例谈三角最值问题的几种求法

☉江苏省灌云高级中学 徐静

三角函数是高中数学的核心知识点，由于其具有较强的灵活性，能全面考查学生的数学知识与能力水平，因此一直是各类考试的热点．而三角最值问题是函数最值问题的重要内容，从近几年的各类竞赛来看，颇受命题者的青睐，故应引起大家足够的重视．笔者通过平时的教学实践，将此类问题的一些想法整理如下，供大家参考．

一、利用基本不等式

本题条件描述的是两个角的正弦函数和余弦函数的关系，而且部分还跟两角和的余弦公式有关，可以将条件展开观察一下，所要求解的tanα与化简后的式子中的sinα，cosα是商数关系，我们可以进行“弦化切”的进一步化简．

解：由条件可得cosαcosβ-sinαsinβ=sinα sinβ，

通过化简整理后发现，此题适合用基本不等式来求最值，只是要注意合理地拆添项、凑常数，同时也要注意等号成立的条件，否则可能会陷入误区，得出错解．

对于形如y=sinxcos2x（或y=cosxsin2x）的三角式子求最值，也经常构造出“和一定”的形式，借助基本不等式．

例2设0＜x＜π，求函数的最大值．

解：先把函数式化为半角形式，得y=2cos2两边平方，得

y2=4cos4当且仅时，等号成立．

二、利用辅助角公式

本题温和，易于入手.辅助角公式同时也是高考的核心考点，体现出竞赛源于高考的原则.降幂公式、辅助角公式的灵活运用是解决此题的关键.

三、利用二次函数

对于形如y=asin2x+bsinx+c（或y=asin2x+bcosx+c）（a≠0）的式子求值域，经常用二次函数解决.我们可将它视为抛物线y=at2+bt+c（a≠0），在t=sinx∈［-1，1］时函数值的范围，当处达到一个最值，另一最值在“-1”和“1”之中距“较远的一点达到；……