李会玲

摘要：向量具有代数和几何的双重属性，是数形结合思想的高度体现，在解题过程中有灵活地运用，通过对几道题目的分析，希望能够为中学数学教师提供一些帮助。

关键词：向量；数形结合；几何法；坐标法

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）01-0102

向量既有大小又有方向，可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。具有代数和几何的双重属性，引入高中课程，对课程结构以及解决问题的方式和方法产生了很大的冲击和影响，是数形结合思想的高度体现。近几年，高考对向量的关注度也越来越高。通过自己这几年对本章内容的教学实践和对相关试题的分析，越发感受到向量的两重性在解题中的巧妙应用。下面，笔者通过几道题目的分析，希望能够为一线的中学数学教师提供一些帮助。

例1.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 · 的值为

， · 的最大值为 。

方法一：选取向量 ， 为基底表示向量

· =（ + ）· = 2=1

方法二：利用数量积的几何意义

在 方向的投影为CB，故 · = 2=1

方法三：利用向量的坐标运算

以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），

设E（t，0），t∈[0，1]，

则 =（t，-1）， =（0，-1），

所以 · =（t，-1）·（0，-1）=1。

解析2：

方法一：因为 =（1，0），所以 · =（t，-1）·（0，-1）=t≤1，故 · 的最大值为1。

方法二：由图知，无论E点在哪个位置， 在 方向上的射影都是CB=1，∴ · = ·1=1。

当E运动到B点时， 在 方向上的射影最大即为DC=1，∴（ · ）max= ·1=1。

例2. 已知a，b是单位向量，a·b=0，若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是（ ）

A. [ -1， +1] B. [ -1， +2]

C. [1， +1] D. [1， +2]

解析1：

方法一：利用向量的运算

∵a·b=0，且a，b是单位向量，∴|a|=|b|=1.

又∵|c-a-b|2=c2-2c·（a+b）+2a·b+a2+b2=1，∴2c·（a+b）=c2+1.

∵|a|=|b|=1且a·b=0，∴|a+b|= ，

∴c2+1=2 |c|cosθ（θ是c与a+b的夹角）。

又-1≤cosθ≤1，∴0

∴c2-2 |c|+1≤0，∴ -1≤|c|≤ +1。

方法二：利用坐标法

以a，b向量分别作x，y 轴建立坐标系。则a=（1，0），b=（0，1）设c=（x，y）