董 帅， 刘立帅， 叶学民

(华北电力大学 能源动力与机械工程学院，河北 保定 071003)

磁场作用下壁面导电率对导电流体流动稳定性的影响

董 帅， 刘立帅， 叶学民

(华北电力大学 能源动力与机械工程学院，河北 保定 071003)

导电流体在外置静态磁场作用下流动时，其流动特性会发生改变，进而使流体流动的稳定性更难以预测。采用非正则模态稳定性分析方法和数值模拟技术，研究了法向磁场作用下壁面导电率不同时平行平板内导电流体的流动稳定性。通过建立并求解扰动变量的原始和伴随控制方程组，考察了平板导电和平板绝缘情形下初级扰动的增长特征及其空间分布形式。结果表明，平板导电(Ha≥7)和平板绝缘(Ha≥8)情形下最优扰动增长倍数Gmax和局部雷诺数R的关系分别为Gmax≈5.34×10-4R2和Gmax≈6.12×10-4R2，相应的最优展向波数βopt与哈特曼数Ha成正比；平板导电时的扰动增长特征及其空间分布与平板绝缘情形下基本类似；但在平板导电条件下，磁场对扰动的抑制效果更明显。

稳定性；法向磁场；壁面导电率；非正则模态；数值模拟

0 引 言

磁流体力学(Magnetohydrodynamics, 简称MHD)是一门研究磁场和流场相互作用的学科，其研究结果可被广泛应用在材料制备过程[1]、航空飞行器的设计[2]及热核聚变反应堆包层设计和制造[3]等方面。导电流体(液态金属、电解质等)在磁场作用下流动时会产生感生电流，该感生电流与外置磁场相互作用产生洛伦兹力，从而改变流体质点的运动。在热核聚变反应堆的包层内，液态金属在强磁场环境下流动，其流动稳定性会影响流体的传热传质过程，进而影响包层的换热效率及安全性。因此，研究磁场作用下液态金属的流动稳定性对热核聚变反应堆的设计及运行都有重要的理论意义。此外，磁流体流动稳定性的研究对晶体增长[4]、翼型减震[5]、高分子聚合物挤压成型[6]等方面也具有十分重要的意义。

由于导电流体高温、不透明等条件的限制，流场结构很难在实验过程中被直接观测到，目前该领域的大部分工作，均集中于理论分析和数值模拟，从上个世纪30年代起至今，有大量学者对此进行了研究。当导电流体在外置法向静态磁场作用下的平行平板内流动时，在平板的近壁面处会形成厚度很薄速度梯度很大的边界层[7，8]，即哈特曼边界层。研究者发现哈特曼边界层的厚度δ和哈特曼数Ha有关，即：δ∝Ha-1。Lundquist[9]最早发现哈特曼边界层的稳定性和局部雷诺数R有关，即：R=Re/Ha，其中，Re为主流雷诺数。Krasnov等[10]通过非正则模态稳定性分析方法和数值模拟在哈特曼边界层稳定性的研究中发现在法向磁场作用下，湍流转变为层流的临界雷诺数Rc=350，这与Moresco和Alboussiere[11]经实验获得的临界雷诺数Rc=380接近。Moreau[12]推导了磁场作用下平行平板内的MHD方程，发现平板导电(σ=∞)情形下的主流速度比平板绝缘(σ=0)情形下小，且与Ha有关。Gerard-Varet[13]采用非正则模态稳定性理论分析了单一无限大平板上的哈特曼边界层的稳定性；结果表明，在平板导电和平板绝缘情形下，其最优扰动为流向漩涡，最优扰动增长倍数Gmax和局部雷诺数R的关系分别为Gmax≈4.93×10-4R2和Gmax≈5.65×10-4R2。Krasnov等[14]对展向磁场作用下，导电流体在无限大绝缘平行平板内的流动稳定性开展了研究，得到了最优初始扰动的空间分布及增长率。Vorobev等[15]采用直接数值模拟分析了平行磁场作用下自由剪切层内导电流体的流动稳定性问题，通过计算获得了扰动增长率及其空间分布。Hussain等[16]通过切比雪夫配置点谱方法研究了绝缘平行平板内导电流体在外置展向磁场作用下流动的线性稳定性；结果表明，随磁场强度增加，不稳定区域变小。

近年来，国内外学者对导电流体在矩形管道中的流动特性和稳定性做了较多研究，即考虑了侧壁的影响。Priede等[17]研究了壁面导电率σ为有限值(0 <σ< ∞)时矩形管道内液态金属流动的稳定性，获得了基本流的近似解。刘婵等[18]研究了法向磁场作用下，液态金属在上下壁面完全导电(σ=∞)、左右壁面导电率不同的方管中流动的线性稳定性，得到了扰动的增长率和扰动速度在通道截面上的分布。

综上所述，壁面导电率对导电流体的流动稳定性有较大影响，研究此问题对进一步指导磁流体边界层稳定性在工业生产中的应用有重要意义。为此，本文探讨法向磁场作用下壁面导电和绝缘时平行平板内导电流体的流动稳定性，分析两种情形下扰动的增长特征及其空间分布，重点考察哈特曼数Ha、雷诺数Re的影响。

1 数值方法

1.1 物理模型

研究对象为不可压缩导电流体在两块无限大平行平板内的流动，在流场中施加一个稳恒均匀的静态法向磁场。平板间距为d，流体的导电率、密度和运动粘度分别为σ0、ρ和υ，外置磁场强度为B，层流流场中心线上的速度为U。平板内的流体靠压力来驱动，体积流量保持定值。

1.2 控制方程组

本文针对导电流体流动处于低磁雷诺数下开展的研究，即只考虑外界磁场对流场的作用，而忽略流场对磁场的影响，其相应的无量纲控制方程组和边界条件为

(1)

式中：p为压力；φ为电势；u为速度矢量，u、υ、w分别为流向x、展向y、法向z上的速度；e=(0,0,1)为单位矢量。对方程组和边界条件进行无量纲化时，取哈特曼层流流动中心线上的速度U为特征速度，平板间距的一半L为特征长度，即L=d/2；磁场强度特征值为B，相应的电势特征值为σ0UB，压力和时间的特征值分别为ρU2和L/U。式(1)中有两个重要的无量纲参数：表征洛伦兹力和粘性力相对大小的哈特曼数Ha：

表征惯性力和粘性力相对大小的主流雷诺数Re：

1.3 线性分析

将控制方程组的解分解为基本流和扰动，因此，流场中的物理量可表示为

(2)

将式(2)代入式(1)，联立基本流的控制方程组，并进行线性化处理，可得关于扰动的线性方程组：

(3)

为分析扰动的增长特征及其获得的最大值，采用非正则模态稳定性分析方法[19-21]。为此，将扰动项展开成如下形式：

(4)

式中：α和β分别为流向波数和展向波数。为定量描述扰动的增长特征，选取变量E(t)表示扰动动能随时间的变化：

(5)

式中：上标“*”代表变量的共轭复数。初始扰动的衰减或增长倍数由下式表示：

(6)

式中：T为所要考察的时刻；0是初始时刻；G称为扰动增长倍数。

对于一组确定的哈特曼数Ha和局部雷诺数R，某一初始扰动会在某一展向波数β、流向波数α、和时刻t下，达到所有扰动增长倍数G的最大值，即最优扰动增长倍数Gmax，对应的展向波数、流向波数、和时刻分别称为最优展向波数βopt、最优流向波数αopt和最优时刻topt。在剪切流研究中发现，无论是平行平板流[22]，还是边界层流动[23]，或圆管中的流动[24]，初始最优扰动的类型均为沿着流场方向的漩涡(α=0)，且一般为关于法向对称或者反对称的漩涡。本文对扰动类型为对称漩涡的情况进行分析，并设定流向波数α=0，只考虑展向波数β的变化。

1.4 模型验证

本文采用高精度的切比雪夫配置点谱方法，网格节点布置的特点是两边密集、中间稀疏，从而可以更好地求解哈特曼边界层内的流场结构。首先，经计算得到Ha=0下，Re=5000时平板流中的最优扰动增长倍数Gmax=4 897.18，对应的流向波数α=0，最优展向波数βopt=2.044，这与Butler 和 Farrell[25]计算的结果吻合；并通过大量计算，验证了网格无关性。网格数目N不同时的计算结果如表1所示，当Ha数增加时，需相应增加网格节点个数，以提高计算精度。

表1Ha=0、5、10，Re=5 000，网格数目N不同时最优扰动增长倍数Gmax

Tab.1 The optimal amplification of perturbationGmaxas function of differentNatHa=0、5、10 andRe=5 000

NGmaxHa=0Ha=5Ha=10324897.73516.84133.80644897.18516.79133.771284897.17516.77133.762564897.17516.77133.75

2 结果与讨论

图1给出了壁面导电率和哈特曼数Ha不同时的速度分布，u0为层流流场中流向速度分量。可以发现，平板导电和平板绝缘情形下无量纲速度分布规律一致，表明壁面导电率对两种情形下无量纲速度分布没有影响。当哈特曼数Ha=0，即无磁场作用下，其流动为平板泊肃叶流。随Ha提高，中心区域速度分布趋于平缓，哈特曼层中速度梯度增大，这是因为施加磁场后，流场中心区域感生电流的方向与磁场方向垂直，产生了阻碍流体流动的洛伦兹力。而在近壁面处，感生电流会形成闭合回路，其电流方向与中心处的相反，从而产生推动流体流动的洛伦兹力。

图1 壁面导电率和哈特曼数Ha不同时的速度分布Fig.1 The velocity distribution with different wall conductivity and Hartmann numbers

图2为局部雷诺数R=300、哈特曼数Ha=5、展向波数β和壁面导电率不同时，扰动增长倍数G随t的演化特征。由图可知，当β不变时，平板导电和平板绝缘情形下G随t的演化规律基本一致，均呈单峰曲线变化；但在平板导电条件下，G的峰值小于平板绝缘情形，且向右移动，表明平板导电时，G达到峰值时的t大于平板绝缘情形。

图2 R=300，Ha=5，展向波数β和壁面导电率不同时G随t的演化图Fig.2 Evolution curves of the amplification of perturbation G as function of time t with different β and wall conductivity at R=300, Ha=5

图3为R=300、Ha=5，壁面导电率不同时，扰动增长倍数G和β随t的演化过程。随t持续，扰动增长倍数G逐渐增大，直到G在某一时刻t和某一展向波数β下得到最大值，即Gmax，此时对应最优展向波数βopt和最优时刻topt。与平板导电情形相比可以发现，平板绝缘时的Gmax在较小的topt和βopt下达到峰值，且Gmax的峰值高于平板导电情形，表明平板导电时，磁场对扰动的抑制效果更明显。由图3(b)还可看出，同一t下，平板导电时的β大于平板绝缘情形。

图3 R=300，Ha=5，壁面导电率不同时(a)Gmax随t的演化图(b) β随t的演化图Fig.3 Evolution curves of the optimal amplification of perturbation Gmax (a) and spanwise wavenumber (b) as function of time t with different wall conductivity at R=300, Ha=5

图4和图5为R=500，Ha=5和15，壁面导电率不同时最优初级扰动在初始时刻的空间分布。由图可知，当平板导电和平板绝缘时，最优初级扰动在初始时刻的空间分布类似，均为流向漩涡，且随磁场强度增加，漩涡的尺寸变小，对应的展向波数增加。流向漩涡和主流相互作用，从而产生流向条纹结构，进而导致主流失稳，发生旁路转捩。在强磁场作用下，流向漩涡受到强烈抑制作用，其尺度和作用范围都减小，相应的扰动增长倍数减小，流场也更为稳定。两种情形的主要区别体现在哈特曼边界层附近平板导电时的各个扰动分量略高于平板绝缘情形。由图还可看出，两种情形下法向和展向速度分量要比流向速度分量大一个数量级，表明初始时刻的扰动动能主要来自于法向和展向；当Ha=15时，两种情形下的流向、展向及法向速度在中心区域都保持在零附近，表明随Ha增加，哈特曼边界层厚度变薄，中心区域范围扩大，也意味着上、下两个哈特曼边界层的流动行为基本上互不影响。

图4 R=500，Ha=5，壁面导电率不同时最优初级扰动在初始时刻的空间分布Fig.4 Distribution of optimal primary perturbation at initial time with different wall conductivity at R=500, Ha=5

图5 R=500，Ha=15，壁面导电率不同时最优初级扰动在初始时刻的空间分布Fig.5 Distribution of optimal primary perturbation at initial time with different wall conductivity at R=500,Ha=15

图6给出了壁面导电率不同，局部雷诺数R=300、500、700、1 000时，Gmax和Ha的关系。由图可知，当R不同时，平板导电和平板绝缘情形下的Gmax随Ha变化趋势相同，即随Ha提高Gmax增大，并在达到峰值后趋于平缓。在同一Ha下，随R增加Gmax增大，且平板导电时的Gmax小于平板绝缘情形，表明平板导电时，磁场对扰动的抑制作用较强。

图6 R和壁面导电率不同时Gmax和Ha的关系Fig.6 The optimal amplification of perturbation Gmax as function of Ha with different R and wall conductivity

图7为壁面导电率和Ha不同时Gmax和R的关系。由图可知，当Ha不同时，平板导电和平板绝缘情形下的Gmax随R演化规律相同，即随R提高Gmax增大。在同一R下，平板导电时的Gmax小于平板绝缘情形，由图7(b)可看出，当Ha较大时，Ha不会对Gmax产生影响。依据上述结果可得，平板导电情形下当Ha≥7时，最优扰动增长倍数Gmax和局部雷诺数R呈平方关系，即Gmax≈5.34×10-4R2；平板绝缘情形下当Ha≥8时，最优扰动增长倍数Gmax和局部雷诺数R的关系为Gmax≈6.12×10-4R2，这两种情形下得到的结果与Gerard-Varet[13]的结果基本吻合，表明Ha较大时，上、下两个哈特曼边界层基本上各自独立，其流动稳定性与单一无限大平板情形类似。

图7 壁面导电率和Ha不同时Gmax和R的关系Fig.7 The optimal amplification of perturbation Gmax as function of R with different Ha and wall conductivity

图8为壁面导电率不同时，最优展向波数βopt随哈特曼数Ha的变化。如图所示，平板导电和平板绝缘情形下βopt随Ha变化的规律基本一致，随Ha提高βopt增大，其主要区别是平板导电时βopt大于平板绝缘情形。由拟合直线1可看出，平板导电情形下当Ha≥7时βopt和Ha成正比，即βopt=0.845Ha；平板绝缘情形下当Ha≥8时，βopt和Ha的关系为βopt=0.76Ha。

图8 壁面导电率不同时βopt和Ha的关系Fig.8 The optimal spanwise wavenumber βopt as function of Ha with different wall conductivity

3 结 论

(1) 平板导电情形下当Ha≥7时，最优扰动增长倍数Gmax和局部雷诺数R呈平方关系，即Gmax≈5.34×10-4R2，相应的最优展向波数βopt与哈特曼数Ha的关系为βopt=0.845Ha；平板绝缘情形下当Ha≥8时，最优扰动增长倍数Gmax和局部雷诺数R的关系为Gmax≈6.12×10-4R2，相应的最优展向波数βopt与哈特曼数Ha的关系为βopt=0.76Ha。

(2)当Ha较大时，上、下两个哈特曼边界层基本上各自独立，其流动稳定性与单一无限大平板情形类似；哈特曼边界层附近，平板导电时的各个扰动分量略高于平板绝缘情形。

(3)平板导电时的扰动增长趋势与平板绝缘情形基本一致；但在平板导电条件下，磁场对扰动的抑制效果更明显。

(4)平板导电和平板绝缘时，最优初级扰动在初始时刻的空间分布类似，均为沿流向的漩涡；随磁场强度增加，漩涡尺寸减小，对应的展向波数增加；受到磁场的限制作用，流向漩涡位于壁面处的哈特曼边界层附近。

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Effect of Wall Conductivity on Stability of Conducting Fluid Flow Under Magnetic Field

DONG Shuai, LIU Lishuai, YE Xuemin

(School of Energy Power and Mechanical Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

When conducting fluid is passing through an outside static magnetic field, the characteristics of the flow will be different, what's more, the stability of the flow is more difficult to predict. Non-normal modal stability analysis and numerical simulation are used in this paper to study the stability of conducting fluid within a parallel plate with different wall conductivity in a vertical magnetic field. The growth rate and spatial distributions of primary perturbations are calculated respectively in conducting plate and insulating plate by solving iteratively the direct and adjoint governing equations of disturbance variables. The results show that the relationship between increased times of optimal disturbanceGmaxand local Reynolds numberRare different in conducting plate and insulating plate and the relationships can be expressed as follows: Gmax≈5.34×10-4Rand Gmax≈6.12×10-4R2. The corresponding optimal span-wise wave numberβoptis proportional to the Hartmann numberHain some range. The growth of disturbances and spatial distributions of primary perturbations in the conducting plates is similar to the one in the insulating plates. When the plates are conductive, the suppression effect of the magnetic field on the disturbances is more significant.

stability; vertical magnetic field; wall conductivity; non-normal modal; numerical simulation

10.3969/j.ISSN.1007-2691.2017.01.16

2016-03-26.

国家自然科学基金资助项目(11302076);河北省自然科学基金资助项目(A2014502047);中央高校基本科研业务费资助项目(2014MS111).

O 361.5

A

1007-2691(2017)01-0103-08

董帅(1982-)，男，讲师，主要从事磁流体力学和流动稳定性分析的研究工作。