何崇荣

(武汉市黄陂区第一中学 湖北 武汉 430300)

张 黎

(武汉市黄陂区第三中学 湖北 武汉 430317)

平行板电容器有关物理问题的理论推导

何崇荣

(武汉市黄陂区第一中学 湖北 武汉 430300)

张 黎

(武汉市黄陂区第三中学 湖北 武汉 430317)

对可看做无限大的平行板电容器电荷的分布、电容的定量表达式以及插入金属板或者电介质对电容的影响等规律做了严格的推导，旨在拓宽物理教师视野．

平行板电容器 推导 规律 电容

高中阶段关于平行板电容器的规律基本上都是直接给出，比如电荷只分布在两板内侧、电容器电容的决定式、以及插入金属板或者电介质对电容的影响，作为教师应该要掌握这些规律的由来．

1 无限大均匀带电平面激发的电场强度

电荷均匀分布于一个无限大平面上，其面密度为σ，其激发的静电场强怎么计算？

1.1 利用均匀带电圆盘模型推导

将无限大平面看做是无限大圆盘．如图1所示.

图1 无限大圆盘模型

以盘心O为圆心作半径各为r及r+dr的圆，在作两条夹角为dφ的半径，便截出一个很小的“半扇形”，因dφ很小，可以认为这个半扇形为矩形，其长、宽各为dr及rdφ，其面积为

dS=rdφdr

其电荷量为

dq=σdS=σrdφdr

根据点电荷场强公式，它在轴上一点P贡献的场强大小为

其中l为半扇形和P点的距离，根据对称性，整个带电圆盘在轴线上场强平行于轴线，因此只需对dE沿轴线的分量dEx作积分便可求得E，由图可知

静电力常量

对变量r和x作二重积分得

对于无限大带电平面，即R→∞，则其激发的场强

即

式中en为带电平面的法向单位矢量．

1.2 利用高斯定理推导

高斯定理：静电场中任一闭合曲面的E通量等于该曲面内的电荷的代数和除以ε0．即

其中q内表示封闭曲面内自由电荷的电荷量．

如图2所示，过P点作与带电平面平行的小圆面S1，以S1为底作与带电面垂直的柱体，其长度等于P点到带电面距离的2倍．对于无限大均匀带电平面，其电场强度E与带电平面垂直．由对称性可知，小平面S1与S2处场强大小相等，即E1=E2，统一记为E，圆柱底的面积记为S．包在封闭柱面内的电荷为q内=σS．

图2 以S1为底与带电面垂直的柱体为高斯面

对这个封闭的圆柱面，根据高斯定理得

规定向右为正方向，则

因侧面的E侧与侧面平行，则

于是

解得

即

2 平行板电容器电荷的分布

平行板电容器电荷究竟怎么分布？高中阶段讨论的平行板电容器的电荷为什么总是分布在两板内侧？

如图3所示，长宽相等的金属平板A和B在真空中平行放置，板间间距比长宽小得多.

图3 长宽相等的两个金属平板平行放置

分别令每板带电qA和qB，由于板的长宽比距离大得多，可近似把板看成是无限大．其电荷面密度依次记为σ1，σ2，σ3，σ4．在A板内任取一点P1，设en是向右的单位法矢量，根据无限大均匀带电平面激发场强公式得，4个无限大平面在P1的合场强为

静电平衡时

E=0

故

σ1-σ2-σ3-σ4=0

(1)

再在B板内取一点P2，类似的有

σ1+σ2+σ3-σ4=0

(2)

qA=σ1S+σ2S

(3)

qB=σ3S+σ4S

(4)

联立式(1)、(2)、(3)、(4)解得

发病率高、治愈率高。症状没食欲，精神萎靡、体温偏高或正常，拉稀便。不过这种类型虽然发病率高，占到总发病率80%左右，但可以全部治愈。

讨论：

(1)对用电池给平行板电容器充电，有qA=

-qB．所以

σ1=σ4=0

这说明电荷只分布在两板内壁．对于可看做无限大的平行板电容器，场外任一点场强为零，两板中间任一点场强

即板间的电场为匀强电场，板外部空间无电场．

(2)若分别令两板带电，则可造成qA=qB，于是

σ2=-σ3=0.

这说明此时电荷将分布在两板外壁．

(3)考虑一般性，令

|qA|≠|qB|

则

σ1=σ4≠0

σ2=-σ3≠0

即四壁都有电荷．

对于可看做无限大的平行板电容器电荷分布，高中阶段，我们通常根据同号电荷相斥，异号电荷相吸来判断和理解电荷的分布规律．两板带等量电荷，可以准确判断，但两板带不等量电荷时，就无法判断了．当然高中阶段讨论的电容器，两板带的都是等量异种电荷，所以电荷只分布在电容器两板内侧．

3 平行板电容器电容的决定式

3.1 插入电介质后的电容

有电介质的高斯定理

电位移

D=εE

真空中

D=ε0E

ε0和ε分别为真空和电介质中的介电常量．

推导插入电介质后的电容，设两板电荷量Q一定，左板电荷面密度为σ，两板间距为d，电介质的宽度为t，介电常量为ε，该介质的的相对介电常量

静电力常量

如图4所示，根据高斯定理，可知1和3区域电场强度相同，即

ε0E1S=ε0E3S=σS

图4 插入电介质后的电容器

则

对含有电介质的高斯面

εE2-ε0E1=0

则

两板电压

U=E1(d-t)+E2t

所以此时电容器的电容

两板之间为真空(或空气)时，即t=0，则

两板之间充满电介质时，即t=d，则

结论：由插入电介质后电容公式

得出:

(1)插入电介质，相当于增大电介质的介电常量，电容增大．

(3)若两板电压一定时，插入电介质，电容增大，两板所带电荷量增大．1和3区域电场强度增大，介质中电场强度E2

3.2 插入金属板后的电容

推导插入金属板后的电容，还是假设两板电荷量Q一定，根据高斯定理，可知1和3区域电场强度相同，即

ε0E1S=ε0E3S=σS

所以

2区域电场强度E2=0．则

U=E1(d-t)

所以插入金属板后的电容

结论：

(1)插入金属板，相当于两板间距减小，电容器电容增大．

(2)若两板电荷量一定时，插入金属板，电容器电容增大，两板电压减小，1和3区域电场强度不变．

(3)若两板电压一定时，插入金属板，电容器电容增大，电荷量增大，1和3区域电场强度增大．

4 小结

(1)对于可看做无限大平行板电容器电荷怎么分布，取决于两板所带的电荷量的大小关系．

若两板带等量异号电荷，则电荷只分布在两板内侧；若两板带等量同号电荷，则电荷只分布在两板外侧；若两板所带电荷量不等，则两板四壁都有电荷，两板外侧带等量同号电荷，两板内侧带等量异号电荷．

(2)插入电介质，相当于增大介电常数，平行板电容器电容增大；插入金属板，相当于两板间距减小，平行板电容器电容增大．

1 梁灿彬，秦光戎，梁竹健.普通物理学教程(电磁学).北京.高等教育出版社，2004,12～13,19～20,53～54，104～105验前先明确电流方向与指针偏转的关系．一方面增加了实验的复杂性．

2016-07-12)