王 辰 吴宇清*

(同济大学，上海 200092)

基于MC-FEM方法的再生混凝土有效弹性模量分析★

王 辰 吴宇清*

(同济大学，上海 200092)

结合有限单元法和Monte-Carlo法，利用均质化理论，从随机骨料代表体元中计算得到再生混凝土有效弹性模量的概率分布，数值试验结果显示，不同级配的再生混凝土等效弹性模量分布有着明显的变化趋势，且近似服从对数正态分布。

再生混凝土，渐进均质化，Monte-Carlo法

0 引言

再生混凝土能够缓解天然砂石骨料的匮乏，减少废弃混凝土填埋对环境造成的污染，是一种新兴的可持续建筑材料[1]。弹性模量是混凝土材料最为基本和重要的力学指标之一，是计算结构变形、温度应力和裂缝开展等问题的必要参数。目前，对再生混凝土弹性模量的研究仍以试验为主[2-4]。试验手段简单直接，但是会耗费大量资金和时间，且经常带有较强的主观意向，难以为再生混凝土表现出的离散性提供理论上的解释和大量数据的支撑。随着计算机技术的快速发展，数值模拟成为分析混凝土材料细观力学性能的重要手段。肖建庄等[5]对模型再生混凝土进行了单轴受压模拟，在此基础上李文贵等[6]对受压应力分布特征进行了讨论。

本文建立了不同级配的骨料随机分布模型，运用渐进均质化理论和Monte-Carlo法，对多种级配、再生骨料取代率的再生混凝土代表体元进行大量有限元计算。最终，对不同情况下的有效弹性模量大小和离散性进行了讨论，并根据有效弹性模量的统计特征进行了概率分布拟合。

1 均质化理论

均质化理论是一套严格的数学理论，该方法是由Beran[7]和Hashin与Shtrikman[8]最先提出，并在之后得到了进一步的发展。其中，渐进均质化方法被广泛应用，下面介绍渐进均质化方法。

复合材料粗细尺度上的弹性系数可以定义为：

(1)

其中，x为粗尺度坐标；y为细尺度坐标，两者关系为y=x/β，β为大于0且远小于1的数，用来描述粗细尺度之间的倍数关系。

弹性力学问题中平衡方程可以写为:

(2)

边界条件给定为:

ε11(x∂Ω)=1

(3)

其中，ε11为细尺度上的应变；fi为体力。

(4)

定义线性形式如下:

L(η)=∫ΩfiηidΩ+∫Ωσiηid(∂Ω)

(5)

由虚位移原理:

(6)

这里我们引入均质化函数χ(ij)k，χ(ij)k满足下式:

aβ((χ(ij)k+yjδki)nk,fT)=0

(7)

其中,fT为任意周期函数;δki为Kronecker符号;nk为单位坐标向量。

对于任意的容许位移V有:

D(U,V)=∫Ωεkl(U)Dijklεij(V)dΩ

(8)

其中:

(9)

由以上两式可以得到弹性系数的均质化表达式为:

从长远角度来看，预算法的深度实施有利于事业单位财务管理水平规范程度以及总体水平的提升。现阶段，虽然，很多事业单位对预算法的适应性较强，但财务管理活动开展中也暴露出了很多问题。事业单位需要对自身财务管理上存在的不足予以正视，并在充分研读预算法中财务管理与预算管理相关内容的基础上，不断对财务管理中遇到的问题进行解决并促进财务管理水平的持续提升。

(10)

通过设定均质化边界条件结合以上各式就可以求得有效弹性模量。

2 随机骨料模型的参数设置

代表体元选用正方形，边长为100mm。为简化分析，骨料可取为圆形，忽略界面过渡区影响。骨料粒径取为5mm～20mm。

参考相关文献[5][6]，取定天然骨料弹性模量为50 GPa，泊松比为0.16；老砂浆弹性模量为25 GPa，泊松比为0.22；新砂浆为30 MPa，泊松比为0.22。随机骨料模型考虑了骨料分布的随机性、骨料粒径大小的随机性，可根据不同级配来生成不同的随机样本。

3 数值试验及结果

3.1 试验结果的讨论

设置MC抽样次数为500，计算了粒径为5 mm，20 mm的单一级配代表体元以及连续级配代表体元。数值模拟结果如图1，图2所示，可以看到蒙特卡洛样本的均值和变异系数收敛效果明显。小粒径级配有效弹性模量均值要大于大粒径级配，而连续级配则介于两者之间；小粒径级配有效弹性模量变异系数小于大粒径级配，连续级配则均大于前两者。连续级配更具离散性。

3.2 有效弹性模量概率分布拟合

对不同级配再生混凝土代表体元的有效弹性模量样本进行对数正态分布拟合。表征拟合效果的可决系数R2调整值如表1所示。可决系数R2调整值是一个0～1之间的非负值，值越大说明拟合优度越好。

不同替代率R2调整值均在0.9以上，拟合优度佳，可以认为连续级配再生混凝土代表体元有效弹性模量样本用对数正态分布近似表征。

表1 对数正态分布拟合的R2调整值

4 结语

本文得出的主要结论如下：

1)再生混凝土骨料体积分数与取代率一定时，小粒径单一级配有效弹性模量均值要高于大粒径单一级配，连续级配介于两者之间。小粒径单一级配有效弹性模量变异系数要小于大粒径单一级配，连续级配均高于前两者。

2)对数正态分布对级配的再生混凝土随机骨料代表体元有效弹性模量拟合良好，可认为随机骨料再生混凝土代表体元有效弹性模量服从对数正态分布。

通过MC-FEM对再生混凝土随机骨料模型进行弹性均质化分析，可以得到其有效弹性模量的分布，为再生混凝土细观分析引入了随机性，与常规模型相比更加合理。

[1] 肖建庄.再生混凝土[M].北京：中国建筑工业出版社,2008.

[2] 陈宗平,徐金俊,郑华海,等.再生混凝土基本力学性能试验及应力应变本构关系[J].建筑材料学报,2013,16(1):24-32.

[3] Xiao J, Li J, Zhang C. Mechanical properties of recycled aggregate concrete under uniaxial loading[J].Cement & Concrete Research,2005,35(6):1187-1194.

[4] 肖建庄.再生混凝土单轴受压应力—应变全曲线试验研究[J].同济大学学报(自然科学版),2007,35(11):1445-1449.

[5] 肖建庄,李文贵,刘 琼,等.模型再生混凝土单轴受压性能细观数值模拟[J].同济大学学报(自然科学版),2011,39(6):791-797.

[6] 李文贵,肖建庄,袁俊强,等.模型再生混凝土单轴受压应力分布特征[J].同济大学学报(自然科学版),2012,40(6):906-913.

[7] Beran MJ.Statistical Continuum Theories,Monographs in Statistical Physics and Thermodynamics. Wiley: New York,1968.

[8] Hashin Z, Shtrikman S. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials. Journal of Mechanics Physics and Solids，1963(11):127-140.

[9] Hill R. The Elastic Behaviour of a Crystalline Aggregate[J].Proceedings of the Physical Society,1952,65(5):349-354.

[10] Kamiński M,Kleiber M.Perturbation based stochastic finite element method for homogenization of two-phase elastic composites[J].Computers & Structures,2000,78(6):811-826.

[11] Walraven J C.Aggregate interlock:A theoretical and experimental analysis[D].Delft University Press,1980.

Effective elastic modulus analysis of recycled concrete on the basis of MC-FEM method★

Wang Chen Wu Yuqing*

(TongjiUniversity,Shanghai200092,China)

Combining with finite element method and Monte-Carlo method, applying homogenization theory, the article achieves effective elastic modulus probability distribution of recycled concrete from random aggregate. The numerical test results show that: equivalent elastic modulus distribution of recycled concrete with different grading will have obvious change trend.

recycled concrete, gradual homogenization, Monte-Carlo method

1009-6825(2017)02-0115-02

2016-11-01★:国家自然科学基金项目(项目编号：10972162)

王 辰(1992- )，男，在读硕士

吴宇清

TU528

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