李明明，亓延峰，牛 刚

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

关于3重量的二元线性码的一个注记

李明明，亓延峰，牛 刚

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

布尔函数在密码学和编码理论中都有着重要的应用，由布尔函数构造的两类著名的二元码是Reed-Muller码和Kerdock码.该文考虑使用布尔函数来构造二元线性码，得到3重量的二元线性码，确定了此类二元码的参数和重量分布，此类小重量的线性码可以用于认证码、密码共享方案、结合方案和强正则图等.

线性码；重量分布；认证码；秘密共享方案；指数和

0 引 言

1 预备知识

给出基本符号定义，并给出线性码和指数和的相关结论，这些结论用于二元线性的参数和重量分布的确定.

为了更好地计算构造的线性码参数，定义如下指数和

下面几个引理是关于指数和Sh(a,b)的一些结论.

2 3重量的二元线性码

下面定理给出了线性码CD的具体参数和重量分布.

表1 线性码CD的重量分布

证明 为了得到线性码CD的参数和重量分布，定义如下参数

则码字cb=(Tr(d1x),Tr(d2x),…,Tr(dnx))的重量为n0-nb.

n0-nb=2m-2-Sh(1,1)/4+Sh(1,1+b)/4∈

当m/l为偶数时，令m=2e.若m≡2 mod 4，由引理1.4知，Sh(1,1)=0，则线性码CD的码长为n=n0=2m-1.由引理1.1和引理1.4知，码字cb=(Tr(d1x),Tr(d2x),…,Tr(dnx))的重量为

若m≡0 mod 4，由引理1.4知，Sh(1,1)=-(-1)m/2l2m/2+l，则线性码CD的码长为n=n0=2m-1-Sh(1,1)/2=2m-1+(-1)m/2l2m/2+l-1.由引理1.1和引理1.4知，码字cb=(Tr(d1x),Tr(d2x),…,Tr(dnx))的重量为

n0-nb=2m-2-Sh(1,1)/4+Sh(1,1+b)/4∈

例2.1 设(m,h)=(5,1)，则l=1，m/l=5，由定理2.1得到线性码CD是参数为[20,5,8]的二元线性码，其重量计数为1+5z8+16z10+10z12.

例2.2 设(m,l)=(6,1)，则l=1，m/l=6，m≡2 mod 4，由定理2.1得到线性码CD是参数为[32,6,12]的二元线性码，其重量计数为1+6z12+47z16+10z20.

例2.3 设(m,h)=(8,1)，则l=1，m/l=8，m≡0 mod 4，由定理2.1得到线性码CD是参数为[144,8,64]的二元线性码，其重量计数为1+27z64+192z72+36z80.

3 结束语

本文结合……