唐东林 吴 凡 贾品元 曾志春

1.西南石油大学机电工程学院，成都，6105002.中国石油长庆油田公司第五采油厂，西安，710020

含气油液有效体积弹性模量理论模型研究

唐东林1吴 凡1贾品元2曾志春1

1.西南石油大学机电工程学院，成都，6105002.中国石油长庆油田公司第五采油厂，西安，710020

为准确预测含气油液在空气分离压下有效体积弹性模量的值，基于油液体积弹性模量定义和质量守恒定律，依据含气油液中气相成分随压力的变化过程，推导出含气油液有效体积弹性模量理论模型。数值计算结果表明：含气油液有效体积弹性模量理论模型B-p曲线与现有理论模型及实验数据拟合曲线基本吻合，验证了理论模型的正确性，特别是在低于大气压的极低压区，有效体积弹性模量预测值更加接近实际情况。分析了初始含气量、压力、升压时间对有效体积弹性模量的影响，结果表明：在低于空气分离压范围内，初始含气量增大，有效体积弹性模量减小；在一定范围内，升压时间增大，有效体积弹性模量小幅度增大。

液压油液；有效体积弹性模量；初始含气量；空气分离压；升压时间

0 引言

液压油液是液压系统的重要组成部分，其属性对系统工作性能有着显著影响。体积弹性模量是油液的固有属性，表征工作过程中的压缩特性，影响液压传动的准确性、可靠性和灵活性。在液压系统静态特性分析时，通常认为体积弹性模量是不变的常数。但在液压系统工况变化大或动态特性分析时，需要引入有效体积弹性模量，才能有效且正确地表征实际工作过程中油液的压缩特性[1]。

有效体积弹性模量是一个影响因素多且变化复杂的动态量，其数值大小主要与工作压力、油液温度及含气量、容器刚度等有关。在液压系统稳定工作的过程中，温度通常被控制在一定范围内，且有研究表明温度对有效体积弹性模量影响甚微，因此可忽略温度的影响；而当液压系统设计中选用厚壁管道或刚度大的材料时，容器刚度对有效体积弹性模量的影响也可忽略。此时，初始含气量和工作压力成为影响有效体积弹性模量大小的关键因素。

国内外研究人员对有效体积弹性模量做了大量研究。文献[2]对近年来有关有效体积弹性模量的不同理论模型进行了归纳总结，并基于热力学的观点，指出正切体积弹性模量定义在数值计算上更为准确。文献[3]在文献[2]的基础上，总结了含气油液在低压区的几种理论模型，并提出相应的修正和改进模型。文献[4-6]通过实验测量了有效体积弹性模量的值，其中文献[4]指出液压油液的饱和蒸汽压并不是单独的压力点，而是一个压力范围，并通过实验确定了某牌号液压油液饱和蒸汽压的范围;文献[5]指出有效体积弹性模量在工作压力低于8.5 MPa时受压力影响较大；文献[6]指出到达空气分离压的时间，即升压时间会影响体积弹性模量。文献[7]推导出不同含气量时油液体积弹性模量的变化方程式，并利用仿真程序给出了变化趋势。文献[8-10]基于工程应用的前提，提出适应工程应用的简化条件，推导了相应的简化理论模型。

上述几种理论模型各有特点也各有不足：文献[1]的理论模型仅适用于油液不含气及工作压力高于空气分离压时的情况；文献[7-10]考虑油液含气，但并未考虑其工作压力低于空气分离压对有效体积弹性模量的影响；在油液含气及考虑低压区的情况下，如文献[2]的理论模型，考虑了气体体积压缩和溶解，但未考虑工作压力低于饱和蒸汽压时油液蒸汽出现的情况，也并未分析升压时间的影响。

本文综合考虑油液含气及气相成分随压力的变化过程，推导出含气油液在空气分离压下有效体积弹性模量理论模型，并分析了含气量和升压时间对有效体积弹性模量的影响。

1 含气油液气相成分变化过程

在实际液压系统中，液压油液不可避免地含有一定量的气体，通常为空气，以掺混或者溶解的形式存在，标准条件下气体的体积分数x为

(1)

式中，Vg0为标准条件下初始气体体积，包含溶解气体和掺混气体；Vl0为标准条件下纯油液体积。

油液中气相成分随压力的变化过程如图1所示，其中油液饱和蒸汽压为低饱和蒸汽压pVL到高饱和蒸汽压pVH之间的范围[5]。随着压力在空气分离压ps左右变化，气体可以在掺混状态与溶解状态之间动态变化，掺混气体以气泡的形式存在于液压油液中，影响有效体积弹性模量，溶解气体对有效体积弹性模量影响微弱，忽略不计。若压力降低到饱和蒸汽压范围以下，液体开始蒸发，出现油液蒸汽，产生气穴现象，对有效体积弹性模量的影响更为严重。为方便有效体积弹性模量理论模型的推导及计算，分别令已溶解气体的体积分数为Xd，油液蒸汽的质量分数为Xv，Xd和Xv均是工作压力p的函数[11]。

图1 含气油液中气相成分随压力变化过程Fig.1 The air release and cavitation process in air-liquid mixtures of hydraulic oil

基于上述分析，提出以下适用于本文理论模型推导的简化假设：①油液压缩或膨胀过程均为等温过程，即忽略温度对有效体积弹性模量的影响；②忽略容器刚度对有效体积弹性模量的影响；③油液含气量(初始含气量，包含溶解气体和掺混气体)、空气分离压和饱和蒸汽压不随时间和位置变化；④气体为理想气体，变化过程满足气体多变状态方程；⑤假设油液体积为单位体积，且气体溶解或释放均不改变油液体积。

2 有效体积弹性模量理论模型

2.1 体积弹性模量与密度的关系

体积弹性模量表征液压油液实际工作过程中的压缩特性，温度不变的条件下是体积压缩系数βp的倒数，其正切定义为

(2)

式中，B为正切体积弹性模量；V为油液总体积。

考虑在工作过程中液压油液无泄露损失，由质量守恒定律可知体积弹性模量与密度的关系为

(3)

式中，ρ为油液密度。

2.2 含气油液在低压区的密度

当工作压力p低于空气分离压时，含气油液中气泡甚至气穴现象将会发生，某一瞬时含气油液总体积可以表示为

V=Vl+Vf+Vv

(4)

(5)

式中，Vl为纯液压油液体积；Vf为自由气体体积；Vv为油液蒸汽体积；ml为纯液压油质量；ρl为纯液压油密度；ρl0为标准条件下纯液压油密度。

由式(3)可知纯液压油液的密度：

(6)

式中，Bl为纯液压油液体积弹性模量;pa为标准状态压力。

自由气体和油液蒸汽属于气体，由于其含量较少且存在于液体中间，可以认为两种气体组分之间无相互作用力，考虑为理想气体。因此可对某气体组分单独使用理想气体多变过程方程，计算某瞬时的气体体积。为方便数学模型推导，采用密度形式表示的多变过程方程，对于等温过程理想气体有[12]：

ρi=ρi0p/p0

(7)

式中,i代表某一气体，可为自由气体f或油液蒸汽v;0代表多变过程初始状态。

对于初始状态的全部自由气体有

Vg=Vg0pa/p

(8)

式中,Vg为初始状态全部自由气体体积。

根据式(1)、式(8)及油液单位体积假设，可得自由气体的体积Vf为

(9)

式中，Xf为未溶解气体的气体分数。

对于油液蒸汽有

ρv=ρv0p/pVH

(10)

根据式(10)、质量守恒定律及假设⑤，可得油液蒸汽的体积Vv为

(11)

式中，ρv0为油液蒸汽在pVH下的密度。

又根据油液单位体积假设及质量守恒定律，含气油液的总质量为

m=Vg0ρg0+Vl0ρl0

(12)

由式(1)推导可得

(13)

式中，m为液压油液总质量；ρg0为标准条件气体密度。

因此可以得到含气油液在低压区的密度为

(14)

代入各组分体积计算表达式,整理可得

(15)

2.3 有效体积弹性模量

为得到形式简洁的数学模型，分别令常数如下：

(16)

联立式(3)和式(15)可以得到含气油液有效体积弹性模量理论模型为

(17)

式中Xf和Xv按照文献[11]所提出的考虑气体释放及油液蒸汽出现时变特征的含气油液变化方程进行计算。

欲得到升压时间对有效体积弹性模量的影响，忽略压力变化过程中复杂且不规律的压缩及膨胀，又为更真实地反映液压系统稳定工作时的实际情况，考虑工作压力p线性递增，整个过程压力从绝对零压增加到空气分离压，所需的升压时间为t，因此有

p=Kt

(18)

00

式中，K为压力变化梯度。

3 有效体积弹性模量理论模型验证

为验证前述理论模型预测有效体积弹性模量的准确性，通过一算例将文中理论模型与文献[3]提出的改进理论模型和文献[5]实验测量数据进行对比说明。液压油液采用L-HM 46抗磨液压油，相关参数见表1[4-5]。

表1 液压油参数

图2给出了低于空气分离压范围内，几种有效体积弹性模量理论模型计算结果和文献[5]实验数据拟合曲线的比较结果。

图2 有效体积弹性模量计算结果比较Fig.2 Results comparison of effective bulk modulus

从图2可看出，在整个压力低于空气分离压的范围内，文中理论模型与现有文献理论模型计算结果相差较小，最大误差不超过5.8%，B-p曲线吻合良好。特别是当压力低于3 MPa时，低压区理论模型与改进的Nykanen模型的B-p曲线重合。当压力高于3 MPa时，低压区理论模型的计算结果略高于两种改进理论模型，这是由于本文理论模型推导过程中，考虑当压力升高至接近空气分离压时，气体会逐渐全部溶解，使有效体积弹性模量值变大；从图2还可看出，低压区理论模型B-p曲线与文献[5]实验数据拟合曲线接近，其与拟合曲线偏离趋势和文献[5]实验实测数据与拟合曲线偏离趋势一致。

图3给出了低于大气压的极低压范围，即靠近饱和蒸汽压范围内几种有效体积弹性模量理论模型计算结果和文献[5]实验数据拟合曲线的比较结果。

图3 有效体积弹性模量在极低压范围计算结果比较Fig.3 Results comparison of effective bulk modulus within the extreme low pressure region

从图3可看出，在极低压区范围内，由于文献[5]实验条件所限，实验数据拟合曲线与理论模型B-p曲线偏离较大，存在较大误差。而对于理论模型而言，当压力高于高饱和蒸汽压时，低压区理论模型计算结果与现有文献理论模型计算结果相差极小，最大误差不超过2.6%，B-p曲线几乎重合；而当压力达到饱和蒸汽压范围甚至低于低饱和蒸汽压时，本文理论模型计算结果逐渐下降并趋近于0。这是由于本文考虑了工作压力低于饱和蒸汽压时油液蒸汽出现的情况。明显地，考虑油液蒸汽出现更接近实际情况。

综上可得，本文推导得到的理论模型能准确预测有效体积弹性模量的实际值，特别是在低于大气压的极低压区，有效体积弹性模量预测值更接近实际情况。

4 有效体积弹性模量影响因素分析

4.1 初始含气量的影响

初始含气量是影响有效体积弹性模量的一个重要因素，其随压力的变化导致有效体积弹性模量变化。图4给出了不同初始含气量下，本文推导的理论模型有效体积弹性模量的计算结果。

图4 不同含气量下，有效体积弹性模量随压力变化曲线Fig.4 Effective bulk modulus curves with pressure under different air content

从图4可看出，有效体积弹性模量随着初始含气量的不同变化明显，随着初始含气量的降低，在相同压力下有效体积弹性模量值增大。压力为4 MPa的情况下，当初始含气量x=10%时，油液有效体积弹性模量仅为970 MPa，但当x=5%时，油液有效体积弹性模量增至1250 MPa。在高于饱和蒸汽压范围时，压力越小，有效体积弹性模量受初始含气量影响越明显，当压力增至接近空气分离压时，初始含气量对有效体积弹性模量几乎没有影响。

4.2 升压时间的影响

升压时间，即达到空气分离压所需时间，也是影响有效体积弹性模量的一个重要因素，已有文献[6]通过实验现象观察到升压时间会影响有效体积弹性模量的值，但并未给出其具体规律。本文通过对推导的有效体积弹性模量理论模型进行计算，得到了不同升压时间下，有效体积弹性模量随压力变化曲线，如图5所示，图6为其局部放大图。

由图5、图6可以看出，当升压时间t=5 s时，B-p曲线与t>5 s的B-p曲线偏离较大，这是因为本文假设油液压缩或膨胀过程均为等温过程，而升压时间过小通常认为是绝热过程[6]，不符合本文的简化假设。

图5 不同升压时间下，有效体积弹性模量随压力变化曲线Fig.5 Effective bulk modulus curves with pressure under different air pressure rising time

图6 局部放大图Fig.6 Partial enlarged drawing

由图5还可看出，当压力大于7 MPa时，不同升压时间下的B-p曲线几乎重合，有效体积弹性模量不受升压时间的影响。该结论与含气油液随压力变化过程是相符的，即当压力升高至接近空气分离压时，气体会逐渐全部溶解，有效体积弹性模量将会等于纯油液体积弹性模量。当压力在2～7 MPa范围内时，随着升压时间t的增大，有效体积弹性模量小幅度增大，其原因是当假设初始含气量不变时，t越大，越有利于含气油液平衡状态的建立，相同压力下，已溶解的气体就越多，其有效体积弹性模量越大。计算结果还显示，当升压时间达到40 s时，随着升压时间变化，B-p曲线不再变化，与t=40 s时重合，可以认为：升压时间t=40 s时，在整个压力增大至空气分离压的过程中，气体已能充分溶解于油液，含气油液达到平衡状态，这与文献[8]指出的气体在油液中的溶解过程结论吻合。因此，t=40 s为临界时间，升压时间大于该值后，对有效体积弹性模量没有影响。

5 结论

(1)本文通过推导得到含气油液有效体积弹性模量低压区理论模型，通过数值计算并与现有理论模型计算结果及实验数据进行对比，结果表明文中推导出的理论模型能够准确预测含气油液在空气分离压下有效体积弹性模量的值，特别是在低于大气压范围内，体积弹性模量的预测值更加接近实际情况。

(2)分析了有效体积弹性模量的影响因素，结果表明：压力越小，有效体积弹性模量受初始含气量影响越明显；压力小于空气分离压时，相同压力下，随着初始含气量的增大，有效体积弹性模量减小；升压时间在一定范围内对于有效体积弹性模量有影响，当t<40 s时，升压时间增大，有效体积弹性模量小幅度增大。

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(编辑 王旻玥)

Research on Theoretical Model for Effective Bulk Modulus of Air-liquid Mixtures of Hydraulic Oil

TANG Donglin1WU Fan1JIA Pinyuan2ZENG Zhichun1

1.School of Mechanical and Electrical Engineering, Southwest Petroleum University, Chengdu，610500 2.No. 5 Oil Production of PetroChina Changqing Oil Field Company，Xi’an，710020

In order to predict the effective bulk modulus of air-liquid mixtures of hydraulic oil below the saturation pressure accurately,based on the definition of the bulk modulus and law of mass conservation,according to the air release and cavitation processes, a theoretical model for effective bulk modulus of air-liquid mixtures of hydraulic oil below the saturation pressure was proposed.The numerical calculation results show that theB-pcurve of the theoretical model for effective bulk modulus of air-liquid mixtures of hydraulic oil shows good agreement with theB-pcurves of published literature’s theoretical model and fitted experimental data,verifing the accuracy of the theoretical model,especially the extreme low pressure region below the atmospheric pressure. The effective bulk modulus of air-liquid mixtures of hydraulic oil is more consistent to practical conditions. Furthermore, the effects of initial air content,pressure and pressure rising time on effective bulk modulus were analyzed. The results show that below the saturation pressure area,the effective bulk modulus deceases with the increasing of initial air content， and the effective bulk modulus increases in a narrow range with the increasing of the pressure rising time.

hydraulic oil; effective bulk modulus; initial air content; saturation pressure; pressure rising time

2016-04-01

TH137

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.03.008

唐东林，男，1970年生。西南石油大学机电工程学院教授、博士后研究人员。主要研究方向为石油钻采设备与工具、无损检测。E-mail：tdl840451816@163.com。吴 凡，男，1991年生。西南石油大学机电工程学院硕士研究生。贾品元，男，1970年生。中国石油长庆油田公司第五采油厂工程师。曾志春，女，1991年生。西南石油大学机电工程学院硕士研究生。