赵雁

【摘 要】本文从数学哲学、数学知识系统结构、数学方法论和数学发展历史分析的角度对数学思想进行了思考，提出了以基元与整体、转化与整合、扩张与因袭作为数学思想的基本构成要素。并在此基础上，探讨了数学思想与数学教育的本质联系。基元与整体 转化与整合 转化与整合 数学思想与数学活动

【关键词】基元与整体；转化与整合；扩张与继承；数学思想与数学活动

数学是一种人类活动，这种活动的外在形式是人类按照自身的需要逐步建立起来的一个知识系统。因此，它凝聚了人类的智慧，蕴涵了人类丰富而深刻的思想，体现着主体的信念、意向、目的、行为准则和思维方式，充分反映了人与自然和谐关系之中人的主体性特点。

数学研究常常表现为数学家们的个体行为，但又不可避免地要受到社会环境的制约和影响。数学家们的研究和讨论必须使用“数学共同体”一致接受的语言（概念、符号体系等），运用“数学共同体”公认的方法，得出的定理或结论必须为“数学共同体”接受和认同。因而，数学研究又反映出社会性特点。

数学研究的社会性特点隐含了规范性成分，如核心思想、框架、合理性标准、准则、组织形式及推理方式等，这成为一种数学传统和精神，为人们所共有，数学更多地关注普遍性、系统性、基础性、不变性、程序性和渗透性。而数学化则是指数学地组织现实世界的过程和方式，即抽象化、符号化、模式化、形式化和系统化，这是数学思想的基本原则。数学要求概念具有单纯性，论证具有确定性，分类具有彻底性和完备性，而拒绝非规律性的概括和反对未经验证的类比。当我们论及数学思想的时候，不可以对此毫不论及。在学习数学时，它们客观上成为一种背景或预设，制约并规范着我们的活动，人们对此交流无碍，这正反映了数学的文化特性。

一、基元与整体

“元”指某种独立存在物，“基元”即指基本的独立存在物，基元是构成整体的要素，也是认识整体的基础，基元与整体有一种特殊的共生关系，是一组相辅相成的概念.

系统或结构中，主要有两种类型的基元，一种是决定系统或结构本质属性的初始基元或单位基元，另一种是决定系统或结构组织特征的构造基元。例如“1”是自然数的初始基元，“后继的规则”是自然数的构造基元，由“1”及“后继的规则”构造出全体自然数；三角形是多边形的初始基元，多边形的三角剖分是多边形的构造基元；基本初等函数是初等函数的初始基元，基本初等函数的代数运算与复合运算是初等函数的构造基元；初始条件是递推数列的初始基元，递推关系则是它的构造基元等等，初始基元具有根基性、归纳性、特殊性和具体性，构造基元具有发展性、演绎性、一般性和抽象性，两种类型的基元构成数学系统或结构的基本研究范式，体现出数学知识系统的结构性特点。

系统或结构的层次带来了基元与整体的层次性或相对性.一个系统或结构对其自身的基元来说是整体，同时，它又可以是更高层次系统或结构的基元。这实际上决定了数学抽象的本质，由此，产生了数学抽象度分析理论。

基元与整体思想运用于数学教育，则是要求重视知识的组织方式或结构方式，即强调对数学知识系统的内在结构规律的认识，布鲁纳早在60年代就曾指出，学习任何学科，主要是要使学生掌握这一学科的基本结构，同时也要掌握研究这一学科的基本态度和方法。基元与整体思想使这一观点得到发展和完善。有助于广大教师对数学知识系统结构特点的把握，更深刻地感受到数学对象之间、数学与大自然之间的和谐联系，更加明确了具体教学内容在整个数学知识系统中的地位与作用，有利于合理地进行数学教学设计。

二、转化与整合

转化与整合是主体的一种认识方式与活动方式。转化实际上是“语言转换”，通过这种“转换”，客体被放置在一个信息相对主体更加丰富的背景之中，从而得到对客体的“解释”。在这一过程中“语言转换”将客体与主体的意识世界联系起来，主体得到对客体“解释”的同时，主体的“信息”得到扩展，这即为整合，整合是一个综合集成的过程，在整体上认识与把握知识的内在结构和规律，转化是整合的基础，而整合则更内在、更深刻。

数学家们“往往不是对问题实行正面的攻击，而是将它不断地变形，直至把它转化成能够得到解决的问题.”从认识论的角度看，数学家们利用转化解决一个又一个问题的过程，也就是人类知识的视野不断得到扩展的过程，转化与整合成为认识发展的主要形式。

变换一求解一反演方法是数学家运用的最有效方法之一].这个方法的思想实质在于：为了解决一个困难的问题，首先：通过某种简化程序把它变换为一个比较容易的等价问题，然后求解这个比较容易的问题，最后反演简化程序，从而得到原问题的解，这正是对转化与整合的程序性描述，而近代数学则更将这种思想发展到了极致.

转化与整合思想体现在数学教育上，就是强调数学的联系。联系的观点是转化与整合的关键，由此，我们也可以把转化与整合看成是联系的两个侧面，.实际上，联系的观点已经成为数学教育的基本原则。

三、扩张与继承

数学教師们领着学生走一条康庄大道：由整数走向分数，由正数走向负数.由有理数走向无理数，由实数走向虚数.这是在扩张数系，同时又希望整数的性质分数也有，正数的性质负数也有，有理数的性质无理数也有，实数的性质虚数也有，这是在扩张数性。

从数学发展的历史来看，数系的每一次扩张都有一个艰难的历程，负数的引入，无理数的发现以及虚数的使用，并不像现在人们看到的那样顺理成章，每一次认识的进步都是经历了发展与继承的矛盾斗争之后才取得的，发展是必然，而继承则是发展的基础，只有不断协调发展与继承的关系，才能不断地进步。数系的每一次扩张都有它的必然性，每一次扩张都继承了扩张前数系的某些性质，扩张与继承过程就是人类认识发展的过程，研究这一过程，从中可以得到许多有益的启示。

作为认识发展的一般规律，扩张与继承有其普遍地起着作用。除了数系发展的例子，数学发展史上的许多重大转折无不反映出这种规律的作用，从“算术”到“代数”，从有限到无限，数学就是在扩张与继承的矛盾斗争当中得到发展。扩张是发展的基础，而继承则使这种发展有了理性的方向。在科学理论的更迭中，扩张打开了人们认识的视野，而继承则反映了认识的连续性和传承性。扩张有其必然的背景，而继承则要遵循规律性、和谐原则。

四、数学思想与数学活动

数学作为一种人类活动，必然要受到人们的思想意识、思想观念的影响。呈现在人们面前的数学，并不是一堆孤立的事实，而是一个井然有序的知识系统，数学知识系统的存在方式，反映出人们的认识活动方式和思维方式。知识的系统性，显现出基元与整体的内在联系与规律。我们的认识是从特殊到一般的过程，而知识的组织方式则是从一般到特殊地展开，从认识的过程看，它们的共同特征正是不断地“基元化”、“一般化”、“系统化”的过程。

数学知识系统的对象呈现出基元与整体之间的内在联系，基元化与整体化是通过转化得以实现的。其次就是转化与整合的过程。扩张与继承是另一个重要方面。三者有机结合，规划出数学思想的整体轮廓。进而推动数学思想教育的健康发展。

参考文献

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