贾婷婷， 郝成功

(山西大学 数学科学学院， 山西 太原 030006)

Huppert可裂性定理的一个推广*

贾婷婷， 郝成功

(山西大学 数学科学学院， 山西 太原 030006)

研究了一个有限群何时在某个正规子群上可裂的问题， 推广了著名的Huppert可裂性定理， 主要把Huppert可裂性定理中讨论的p-版本推广到π-版本并对其进行了详细的证明， 从而得到一个更为广泛的证明可裂性的判据. 其证明引用了经典的Gaschütz可裂性定理， 运用了传输同态， 采用了由特殊到一般的证明思路. 最后， 作为对该定理的实际应用， 给出了若干经典的传输定理的统一的简化证明.

可裂性； 正规子群；π-商群； 交换π-商群

0 引 言

本文只考虑有限群， 所使用的符号和术语大多是标准的， 可参考Isaacs的群论教程[1-2]， 对于正规p-补的一些结论可参见文献[3]. 特别地， 本文约定p为某个素数，π为某个非空的素数集，π′为π在全体素数集中的补集. 给定正整数m， 记π(m) 为m的全体素因子. 称群G为π-群， 如果|G|的每个素因子均属于π， 称x∈G为一个π-元， 如果〈x〉是π-群. 当π={p}， 则π-群成π′-群分别简称为p-群或p′-群，p-元和p′-元类似定义.

设G为群，N◁G， 若存在H≤G， 满足NH=G且N∩H=1， 则称H为N在G中的一个补， 也称G在正规子群N上是可裂的. 熟知判别群在一个正规子群上的可裂性是有限群理论中的一个重要问题， 至今已获得了很多研究成果， 其中特别著名的是Schur-Zassenhaus定理[4]， Gaschütz定理[4]， 以及Huppert定理[5]. 这些经典定理有很多的推广和应用， 例如对可裂扩张的Schur乘子群， 自同构群和置换表示等的研究， 参见文献[6-10]， 显然这类问题具有广泛的应用前景和很……